Variabili indipendenti moltiplicate per altre variabili

[retrocomputer]

Ho una famiglia di variabili aleatorie $(X_n)_{n\geq 1}$ indipendenti e devo dimostrare che anche le variabili $(\tilde X_n)_{n\geq 1}$, con $\tilde X_n=X_nI_{\{|X_n|>n\}}$ per ogni $n\geq 1$, sono indipendenti.

Come tentativo ho provato a cambiare la funzione indicatrice nella forma $I_{X^{-1}(A)}=I_A\circ X$, ma non vado lontano... Ho anche provato con particolari variabili aleatorie $X_n$, per esempio altre indicatrici, e mi pare di capire che in generale è falso che se delle $X_n$ sono indipendenti e delle $Y_n$ non lo sono, allora le $X_nY_n$ sono indipendenti, eh?

[DajeForte]

Chiaramente le due ultime righe sono false: basta che prendi $X_n=1$ per ogni n.

Per il problema procederei così: dimostra che le funzioni $f_n(x)= x 1_{ {|x|>n} } (x)$ sono misurabili.

Ora cosa puoi dire di $sigma(Y)$ dove $Y=f(X)$ per una generica funzione misurabile $f$?

[retrocomputer]

Grazie DajeForte, il bello è che ci ho anche provato a scrivere le $\tilde X_n$ come composizione di funzioni misurabili, ma non ci sono riuscito, forse perché da subito mi sono fissato su una funzione indicatrice qualsiasi e non su quella richiesta...

"DajeForte":Chiaramente le due ultime righe sono false: basta che prendi $X_n=1$ per ogni n.

Sì, questo lo avevo più o meno visto, ma il tuo esempio è perfetto.

"DajeForte":
Per il problema procederei così: dimostra che le funzioni $f_n(x)= x 1_{ {|x|>n} } (x)$ sono misurabili.

Sono prodotto di due funzioni misurabili.

"DajeForte":Ora cosa puoi dire di $sigma(Y)$ dove $Y=f(X)$ per una generica funzione misurabile $f$?

$sigma(Y)\subseteq sigma(X)$?

[DajeForte]

Si tutto giusto. Adesso è facile concludere: visto che le sigma algebre generate dalle X sono indipendenti lo saranno anche le sotto sigma algebre generate dalle Y.

[retrocomputer]

Grazie di nuovo