Variabili indipendenti e identicamente distribuite

[fabiranni]

Ciao a tutti leggendo il teorema sulle variabili(i.i.d) il quale afferma che:

E[$(1/n) sum_{i=0}^n$Xi]=E[xi]

var[$(1/n) sum_{i=0}^n$Xi]= var(Xi)/n

Tralasciando la dimostrazione, volevo sapere perchè:

a) portando fuori dalla varianza o dal valore atteso la sommatoria mi diventa nvar(xi) e nE[xi]?E' semplicemente per il fatto che le variabili sono indipendenti??Inoltre vorrei sapere perchè matematicamnete la sommatoria mi diventa n.

b)Vi ringrazio anticipatamente

[Arado90]

Se il tuo dubbio è solo matematico allora ti basta ricordare una delle proprietà delle sommatorie:

$sum_{i=0}^n x = nx$ (tanto per fare un esempio: $sum_{i=0}^8 5 = 8*5$ )

Se poi ti ricordi una delle proprietà della varianza, cioè che $V(aX)=a^2V(X)$ con $ainRR$, dovresti aver capito il meccanismo.
Infatti portando fuori la $n$ dalla varianza, questa ti diventa al quadrato e dunque nella semplificazione la $n$ al numeratore sparisce, mentre quella che era al denominatore a grado $2$, diventa a grado $1$ e rimane $(V(X))/n$.
Questo non succede per il valore atteso dato che $E(aX)=aE(X) , ainRR$

[DajeForte]

Due piccole precisazioni:

1) Per il valore atteso non c'è bisogno della proprietà di indipendenza; per la varianza si.

2) Se la somma va da $0$ le variabili sono $n+1$

[Arado90]

Vero, ho sbagliato perchè sarebbe $sum_{i=1}^n x = nx$ !

[fabiranni]

Si per la varianza ci vuole per forza l'indipendenza pechè se le due variabili si influenzassero poi avremmo la covarianza