Variabili di Cauchy rispettano Legge dei Grandi numeri?

[Bombadil]

Ciao, mi sono imbattuto in questo esercizio

Siano $ X_n $ variabili aleatorie indipendenti identicamente distribuite, tutte con distribuzione di Cauchy.
(a)  Dimostrare che $ (|X_1|+|X_2|+...+|X_n|)/(n) $ converge quasi certamente ad infinito, quindi per le variabili aleatorie $ X_n $ vale la legge dei grandi numeri (estesa).
(b) Dimostrare che $ (X_1+X_2+...+X_n)/(n) $ converge in distribuzione ed individuare la distribuzione limite.

Ora il punto (b) riesco a risolverlo grazie alla funzione caratteristica e trovo che $ (X_1+X_2+...+X_n)/(n) $ converge in legge ad una Cauchy a sua volta.

sul punto (a) ho qualche dubbio proprio in partenza, nel senso che:
- la distribuzione di cauchy non ammette un momento primo giusto? al più si può parlare di valore principale ma io mi aspetterei uno 0 non un +inf
....


grazie

[fu^2]

Perché ti aspetteresti uno zero piuttosto che la convergenza all' infinito?


Per ragionare ti posso suggerire di considerare la serie troncata: per $C>0$ fissato sia

$Y_n^C := |X_n|I(|X_n|
E usa il teorema dei grandi numeri classico.

[markowitz]

"Bombadil":

Siano $ X_n $ variabili aleatorie indipendenti identicamente distribuite, tutte con distribuzione di Cauchy.
(a)  Dimostrare che $ (|X_1|+|X_2|+...+|X_n|)/(n) $ converge quasi certamente ad infinito, quindi per le variabili aleatorie $ X_n $ vale la legge dei grandi numeri (estesa).

Cosa intendi con vale la legge dei grandi numeri (estesa) ?
Io sapevo che la finitezza della media era condizione necessaria per l'applicazione della LLN, e la trasormazione valore assoluto non restituisce finitezza alla media partendo da una Cauchy. Cosa intendi con estesa ?

[fu^2]

"markowitz":
Cosa intendi con vale la legge dei grandi numeri (estesa) ?
Io sapevo che la finitezza della media era condizione necessaria per l'applicazione della LLN, e la trasormazione valore assoluto non restituisce finitezza alla media partendo da una Cauchy. Cosa intendi con estesa ?

Mi permetto di rispondere alla domanda.

Se guardi la mia risposta potresti notare che il LGN si applica anche a v.a. con media non finita sotto l'ipotesi che la parte negativa sia integrabile (nell'esercizio si prendono direttamente delle v.a. positive).
Questa generalizzazione si chiama LGN esteso.

[Bombadil]

"fu^2":Perché ti aspetteresti uno zero piuttosto che la convergenza all' infinito?


Per ragionare ti posso suggerire di considerare la serie troncata: per $C>0$ fissato sia

$Y_n^C := |X_n|I(|X_n|
E usa il teorema dei grandi numeri classico.

Io avrei pensato di far vedere che

$ lim _{n->+infty}P(|{|X_1|+|X_2|+...+|X_n|}/n-K|)
non è 1 per ogni K, così da concludere che la media sia esplosiva.
Può essere utile far vedere che ${|X_1|+|X_2|+...+|X_n|}/n$ è ancora una cauchy? (non so se è vero...)


la densità delle troncate $ Y_n^c=X_n*mathbb1_{{|X_n|lec}} $ è

$f(X_n|-cleXnlec)=1/{2arctan(c)}*1/{1+X_n^2}*mathbb1_{{|X_n|lec}}$,

da questo ho che $E[Y_n^c]=0$. per questo pensavo ad una media nulla...

[fu^2]

"Bombadil":
Io avrei pensato di far vedere che

$ lim _{n->+infty}P(|{|X_1|+|X_2|+...+|X_n|}/n-K|)
non è 1 per ogni K, così da concludere che la media sia esplosiva.
.

Se vuoi adottare questa strada (mi sembra che ci sia una parentesi mal piazzata nella formula, sbaglio?), per usare un solo parametro (invece di $\epsilon$ e $K$), potresti provare a far vedere che per ogni $K\in (0,\infty)$ si ha

$ lim _{n->+infty}P(|{|X_1|+|X_2|+...+|X_n|}/n| \leq K)=0$

"Bombadil":
Può essere utile far vedere che ${|X_1|+|X_2|+...+|X_n|}/n$ è ancora una cauchy? (non so se è vero...)
.

Se usi il punto (b), che hai già dimostrato, ti accorgi (dimostrazione per assurdo) che non può essere che $\frac{X_1+...+X_n}{n}$ converge in distribuzione (verso una Cauchy), e ${|X_1|+|X_2|+...+|X_n|}/n$ diverge q.c.
In particolare questo ti dice che ${|X_1|+|X_2|+...+|X_n|}/n$ non può avere una distribuzione di Cauchy.

"Bombadil":
la densità delle troncate $ Y_n^c=X_n*mathbb1_{{|X_n|lec}} $ è

$f(X_n|-cleXnlec)=1/{2arctan(c)}*1/{1+X_n^2}*mathbb1_{{|X_n|lec}}$,

da questo ho che $E[Y_n^c]=0$. per questo pensavo ad una media nulla...

due osservazioni imporatanti:
1. Non cercare la densità esplicita, non serve. Comunque ti sei dimenticato un'indicatrice che assicuri che $Y_n^c$ siano positive. Allo stesso modo dovresti poter trovare che la densità di $|X_1|$ è

$$f_{|X_1|}(x)=2 f_{X_1}(x) 1_{(0,\infty)}(x)$$

da cui dedurre quella di $Y_1^c$

2. Osseva che $E(|X_1|)=\infty$. Questo risultato assicura (perché?) che $E(Y_1^c)\in (0,c]$. Inoltre per ogni $c>0$ hai che $Y_n^c$ sono i.i.d., da cui (per la LGN)

$\frac{Y_1^c+...+Y_n^c}{n}\to E(Y_1^c)$ come $n\to\infty$, q.c., da qui dovresti riuscire a dedurre la conclusione dell'esercizio.

[Bombadil]

Se vuoi adottare questa strada (mi sembra che ci sia una parentesi mal piazzata nella formula, sbaglio?),

Giustissimo
$ lim _{n->+infty}P(|{|X_1|+|X_2|+...+|X_n|}/n-K|
per usare un solo parametro (invece di $\epsilon$ e $K$), potresti provare a far vedere che per ogni $K\in (0,\infty)$ si ha

$ lim _{n->+infty}P(|{|X_1|+|X_2|+...+|X_n|}/n| \leq K)=0$

Se usi il punto (b), che hai già dimostrato, ti accorgi (dimostrazione per assurdo) che non può essere che $\frac{X_1+...+X_n}{n}$ converge in distribuzione (verso una Cauchy), e ${|X_1|+|X_2|+...+|X_n|}/n$ diverge q.c.
In particolare questo ti dice che ${|X_1|+|X_2|+...+|X_n|}/n$ non può avere una distribuzione di Cauchy.

uhmm questo non mi è immediato ma ora ci provo...

due osservazioni imporatanti:
1. Non cercare la densità esplicita, non serve. Comunque ti sei dimenticato un'indicatrice che assicuri che $Y_n^c$ siano positive. Allo stesso modo dovresti poter trovare che la densità di $|X_1|$ è

$$f_{|X_1|}(x)=2 f_{X_1}(x) 1_{(0,\infty)}(x)$$

da cui dedurre quella di $Y_1^c$

giusto, dunque $$f_{Y_1^c}(x)=2 f_{X_1}(x) 1_{(0,c)}(x)$$

2. Osseva che $E(|X_1|)=\infty$. Questo risultato assicura (perché?) che $E(Y_1^c)\in (0,c]$.

vedendo i valori attesi come $ int_(-infty)^(+infty) xf(x) dx $ ho

$E(|X_1|)=int_(-infty)^(+infty) |x|f_{|X_1|}(x) dx= 2int_(0)^(+infty) xf_{X_1}(x) dx$

e questo diverge perche la densità di una cauchy è del tipo $1/{1+x^2}$ quindi sarà una divergenza integrale come $1/x$

ora per le troncate...

$ E(Y_1^c)=2int_(0)^(c) xf_{X_1}(x) dx $

- è certamente positivo per la positività della funz integranda, $lec$ è quello che mi aspetto ma non lo vedo...

Inoltre per ogni $c>0$ hai che $Y_n^c$ sono i.i.d., da cui (per la LGN) $\frac{Y_1^c+...+Y_n^c}{n}\to E(Y_1^c)$ come $n\to\infty$, q.c., da qui dovresti riuscire a dedurre la conclusione dell'esercizio.

questo io lo farei prendendo una successione $c_n->infty$

[fu^2]

"Bombadil":

ora per le troncate...

$ E(Y_1^c)=2int_(0)^(c) xf_{X_1}(x) dx $

- è certamente positivo per la positività della funz integranda, $lec$ è quello che mi aspetto ma non lo vedo...

prova a ragioare con le indicatrici e l'espressione
$E(|X_1| 1_{|X_1|\leq c}$

"Bombadil":
questo io lo farei prendendo una successione $c_n->infty$

Questa è l'idea, che è giusta. Ti consiglio di scrivere bene tutti i dettagli. Se vuoi puoi metterli sul forum

[Bombadil]

prova a ragioare con le indicatrici e l'espressione
$E(|X_1| 1_{|X_1|\leq c}$

mi vengono in mente 2 cose...

1- formula del valore atteso totale $E(|X_1|)=E(|X_1| 1_{|X_1|\leq c})P(|X_1|\leq c)+E(|X_1| 1_{|X_1|>c})P(|X_1|> c)$
che nel mio caso sarebbe come $E(|X_1|)=E(Y_1^c)P(|X_1|\leq c)+E(|X_1| 1_{|X_1|>c})P(|X_1|> c)$
....

2- usare la disuguaglianza di markov? no perchè mi restituisce un risultato banale

"Bombadil":
questo io lo farei prendendo una successione $c_n->infty$

Questa è l'idea, che è giusta. Ti consiglio di scrivere bene tutti i dettagli. Se vuoi puoi metterli sul forum [/quote]

appena finito di capire il tutto mi impegno sul formalizzare i dettagli

[fu^2]

"Bombadil":[

mi vengono in mente 2 cose...

1- formula del valore atteso totale $E(|X_1|)=E(|X_1| 1_{|X_1|\leq c})P(|X_1|\leq c)+E(|X_1| 1_{|X_1|>c})P(|X_1|> c)$
che nel mio caso sarebbe come $E(|X_1|)=E(Y_1^c)P(|X_1|\leq c)+E(|X_1| 1_{|X_1|>c})P(|X_1|> c)$

Molto meno complicato: Sull'evento $\{|X_1|\leq c\}$ hai che $|X_1|\leq c$. Inoltre $1_{|X_1|\leq c}\leq 1$. Usa queste due cose per stimare $E(Y_1)=E(|X_1| 1_{|X_1|\leq c})$.

[Bombadil]

Molto meno complicato: Sull'evento $\{|X_1|\leq c\}$ hai che $|X_1|\leq c$. Inoltre $1_{|X_1|\leq c}\leq 1$. Usa queste due cose per stimare $E(Y_1)=E(|X_1| 1_{|X_1|\leq c})$.

ops... certo così segue dalla monotonia del valore atteso. in serata dovrei riuscire a scrivere una soluzione degna di questo nome