Variabili Combinate

[IngMarcon]

Buongiorno, sono qui perche sono alle prime armi su probabilità e purtroppo non riesco a trovare esercizi con uno svolgimento chiaro ne sul libro ne in altri piattaforme, qui qualcosa ho ovviamente trovato ma continuo ad avere dei dubbi.
Ecco l'esercizio:
Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti e sia Z := min{X, Y }. Supponiamo inoltre che X sia discreta con P (X = 1) = 1/2 , P (X = 2) = 1/3 e P (X = 3) = 1/6 mentre Y sia una variabile aleatoria
continua con densità $ fy(y):{ ( (2cos(y)+5sin(y))/7\ rarr yin (0, pi/2)),(0rarr y !in (0, pi/2) ):} $
Le domande sono: i vari valore attesi sia della X che della Y anche le loro varianze, e le funzioni di ripartizione, e fino a qui tutto apposto.
Ma le domande che mi hanno messo più in crisi sono calcolare $ P(X Non so proprio da dove iniziare.
Vi ringrazio in anticipo si per me che per il fantastico servizio che date a tutti .

[Lo_zio_Tom]

guardando il dominio delle due funzioni, per avere $X1$

Quindi

$P(X1)=1/2*int_(1)^(pi/2)f(y)dy=...~~0.216$

Per il calcolo della distribuzione del minimo proverei con la definizione

$F_Z=P(Z<=z)=P{min(X,Y)<=z}=1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X>z;Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$

ecc ecc

PS nella definizione di $f(y)$ hai erroenamente messo un $in$ al posto di $!in$: ora te l'ho corretto io

[IngMarcon]

Grazie mille, fantastico ho capito tutto, alla fine è semplice.

ps: grazie anche per la correzione

[IngMarcon]

Anzi scusami, ma come mai contemporaneamente Y<1 ? poi l'integrale che tu vai a svolgere da 1 a pi/2 è quando Y>1, giusto ?
Comunque nel complesso ho capito come bisogna ragionare su questi esercizi.

[Lo_zio_Tom]

sì ma per il minimo ho cambiato idea....viene più semplice con semplici osservazioni (scusa la cacofonìa)

Il dominio della $X$ è $D_X={1,2,3}$

il dominio della $Y$ è $D_Y=(0;pi/2)$

quindi anche la variabile $Z=min (X,Y)$ avrà come dominio $D_(Z) = (0;pi/2)$

osserviamo che,

- quando $0
- quando $Z=1 rarr P(Z)=P(X=1)P(Y>1)$

- quando $Z>1rarr P(Z)=P(X !=1)P(Y
Quindi in definitiva

$f_(Z)(z)={{: ( f_Y(z) , ;01) ,;z=1 ),( 1/2f_Y(z) , 1
Si tratta quindi di una variabile mista; per trovare la $F_Z(z)$ integri \ sommi i valori della densità precedente

[Lo_zio_Tom]

"IngMarcon":Anzi scusami, ma come mai contemporaneamente Y<1 ? poi l'integrale che tu vai a svolgere da 1 a pi/2 è quando Y>1, giusto?

ovviamente è un errore di stampa, ora corretto

thanks

[IngMarcon]

Fantastico, grazie
Quindi in riassunto, io dovrei andare a vedere i domini? ce vuol dire che, ovviamente il piu piccolo della X è 1 , e gia con il 2 andrei a superare il dominio della Y, e la Y è superiore del 1 ovviamente da >1 in poi... cioè dopo tutta questa confusione io dovrei solamente guardare i domini ?

[Lo_zio_Tom]

Nel caso generale la distribuzione del massimo e del minimo la trovi come ti ho spiegato all'inizio, ossia con la definizione.

In questo caso l'esercizio è un po' particolare e si fa prima con semplici considerazioni:

il dominio della Z è ovviamente uguale a quello di Y, non può certo andare oltre il valore di $1.57~~pi/2$

ora dividi il dominio e calcoli la probabilità di ogni sua parte....

quando $0
ma può essere che si abbia $(Y>1) nn (X=1)$ ed in questo caso il dominio del minimo è 1

oppure può accadere che $(Y>1) nn (X !=1)$ e qui il dominio è quello che rimane, $(1;pi/2)$

altri casi non ce ne sono...

[Lo_zio_Tom]

Ecco la soluzione (scritta in generale)


$F_(Z)(z)-={{: ( 0 , ;z<0 ),( F_(Y)(z) , ;0<=z<1 ),( F_Z(1^-)+1/2P(Y>1) , ;z=1 ),( F_Z(1)+1/2[F_Y(z)-F_(Y)(1)] , ;1=pi/2 ) :}$


che l'espressione trovata sia giusta è di facile dimostrazione:

$F_Z(-oo)=F_Z(0)=F_Y(0)=0$

$(partialF_Z)/(partialZ)>=0 AAz$ è immediato dato che abbiamo costruito la F come integrale di funzioni positive (non negative)

$F_Z(+oo)=1$ si vede facilmente sostituendo $z=pi/2$:

$F_(Z)(1)+1/2F_Y(z)-1/2F_Y(1)=F_(Y)(1)+1/2P(Y>1)+1/2-1/2F_(Y)(1)=1/2P(Y<=1)+1/2P(Y>1)+1/2=1/2+1/2=1$

cvd

[IngMarcon]

Grazie tantissimo, non mi ero accorto di non averti risposto... ho rivisto ora la domanda ed è stata utilissima la tua risposta. Grazie