Variabili casuali
PROBLEMA:
Siano le variabili causali X e Y indipendenti, X con distribuzione geometrica di parametro p e Y con distribuzione esponenziale di parametro k. Calcolare la probabilità che l'equazione t^2+2sqrt(X)+Y=0 abbia radici reali.
MIA RISOLUZIONE: perchè siano radici reali devo avere che il discriminante della mia equazione deve essere > o uguale e 0. Trovo dunque che 4X-4Y>0 e quindi X>Y.
Ora però non so come andare avanti. Come si fa? Cioè che probabilità c'è che una variabile con distribuzione geometrica sia maggiore di una con distribuzione esponenziale?
Grazie per l'aiuto
Siano le variabili causali X e Y indipendenti, X con distribuzione geometrica di parametro p e Y con distribuzione esponenziale di parametro k. Calcolare la probabilità che l'equazione t^2+2sqrt(X)+Y=0 abbia radici reali.
MIA RISOLUZIONE: perchè siano radici reali devo avere che il discriminante della mia equazione deve essere > o uguale e 0. Trovo dunque che 4X-4Y>0 e quindi X>Y.
Ora però non so come andare avanti. Come si fa? Cioè che probabilità c'è che una variabile con distribuzione geometrica sia maggiore di una con distribuzione esponenziale?
Grazie per l'aiuto
Risposte
"el_pampa":
PROBLEMA:
Siano le variabili causali X e Y indipendenti, X con distribuzione geometrica di parametro p e Y con distribuzione esponenziale di parametro k. Calcolare la probabilità che l'equazione t^2+2sqrt(X)+Y=0 abbia radici reali.
sarebbe $t^2+2sqrt(X)t+Y=0$ ?
Si si.. è così.. scusa mi ero dimenticato anche la t..
L'equazione corretta dovrebbe essere $t^2+2tsqrtX+Y=0$.
In tal caso, adottando il tuo procedimento, direi di trovare la densità di $Z=X-Y$. Si ha $f_X(x)=sum_(k=0)^(oo) p(1-p)^k delta(x-k)$, mentre $f_(-Y)(y)=lambda e^(lambda y) chi_([-oo,0])$.
Quindi la densità di $Z$ è $f_Z(z)=(f_X ox f_(-Y))(z)=sum_(k=0)^(oo) p(1-p)^k lambda e^(lambda z) chi_([-oo,k])$, dove $ox$ sta per prodotto di convoluzione.
La probabilità cercata è allora $P{Z>=0}=int_0^(oo)f_Z(z)dz=int_0^(oo)[sum_(k=0)^(oo) p(1-p)^k lambda e^(lambda (z-k)) chi_([-oo,k]) ]dz=sum_(k=0)^oo p(1-p)^k int_0^k lambda e^(lambda (z-k))dz=((e^(lambda)-1)(p-1))/(1-p-e^(lambda))$.
EDIT: ho corretto un errore nell'ultimo integrale.
In tal caso, adottando il tuo procedimento, direi di trovare la densità di $Z=X-Y$. Si ha $f_X(x)=sum_(k=0)^(oo) p(1-p)^k delta(x-k)$, mentre $f_(-Y)(y)=lambda e^(lambda y) chi_([-oo,0])$.
Quindi la densità di $Z$ è $f_Z(z)=(f_X ox f_(-Y))(z)=sum_(k=0)^(oo) p(1-p)^k lambda e^(lambda z) chi_([-oo,k])$, dove $ox$ sta per prodotto di convoluzione.
La probabilità cercata è allora $P{Z>=0}=int_0^(oo)f_Z(z)dz=int_0^(oo)[sum_(k=0)^(oo) p(1-p)^k lambda e^(lambda (z-k)) chi_([-oo,k]) ]dz=sum_(k=0)^oo p(1-p)^k int_0^k lambda e^(lambda (z-k))dz=((e^(lambda)-1)(p-1))/(1-p-e^(lambda))$.
EDIT: ho corretto un errore nell'ultimo integrale.
ma cosa sarebbe kδ(x-k) che c'è nella f(x)?
$delta(cdot)$ è la delta di Dirac, o impulso matematico. Una v.a. distribuita geometricamente ha una d.d.p. a impulsi.
PS: chiedo scusa a luca.barletta, mentre rispondevo non ho visto le repliche.
PS: chiedo scusa a luca.barletta, mentre rispondevo non ho visto le repliche.
"elgiovo":
$delta(cdot)$ è la delta di Dirac, o impulso matematico. Una v.a. distribuita geometricamente ha una d.d.p. a impulsi.
Non mi sembra di averlo fatto o forse mi mancano gli appunti di quella lezione...
"el_pampa":
forse mi mancano gli appunti di quella lezione...
In tal caso ti consiglio di recuperarli.
"elgiovo":
PS: chiedo scusa a luca.barletta, mentre rispondevo non ho visto le repliche.
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