Variabili casuali

[vinci931]

Ciao a tutti, potreste aiutarmi con questo esercizio?? (non so da dove sia preso: ci è stato assegnato dal prof.)

Data la variabile casuale $X$ caratterizzata dalla seguente funzione massa di probabilità (pmf)
$p_(X)(x)=a(x+5)$ con $x=0,1,2,3,4$

a) Calcolare il valore della costante $a$
b) Determinare la funzione di ripartizione (CDF) e la funzione densità di probabilità (pdf) della variabile X
c) Determinare la funzione massa di probabilità di $Y=X^2$
d) Determinare una procedura per simulare la variabile X a partire da una variabile casuale gaussiana standard

E' corretto dire che
$a=1/35$

[Lo_zio_Tom]

"vinci93":
E' corretto dire che
$a=1/35$

Sì



mi sembra tutto alquanto banale

[vinci931]

Scusa se si tratta di un esercizio semplice, ma sono alle prime armi

Quindi se $a=1/35$, risulta:
$p_(X)(x)=1/35(x+5)$

Dalla teoria dovrebbe risultare:
$F_(X)(x)=sum_({v in (0,4):v<=x}) p_(X)(v)$

Mi sapresti spiegare in che modo procedo?
Una volta trovata la CDF come scritto sopra, poi, la pdf la ottengo per derivazione??

[Lo_zio_Tom]

una volta determinata la costante $a=1/35$ hai già tutte le probabilità della pmf, che risulta essere la seguente distribuzione discreta


$p(X)-={{: ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ),( 5/35 , 6/35 , 7/35 , 8/35 , 9/35 ) :}$

la CDF la ottieni semplicemente sommando le probabilità



$F(x)-={{: ( 0 , ;x<0 ),( 5/35 , ;0<=x<1 ),( 11/35 , ;1<=x<2 ),( 18/35 , ;2<=x<3 ),( 26/35 , ;3<=x<4 ),( 1 , x>=4 ) :}$




$p(X^2)-={{: ( 0 , 1 , 4 , 9 , 16 ),( 5/35 , 6/35 , 7/35 , 8/35 , 9/35 ) :}$

[vinci931]

Ok, mi trovo (nel senso anche io avevo intuito si facesse così ma non ne ero certo). La pdf la ottendo derivando?

[Lo_zio_Tom]

"vinci93":Ok, mi trovo (nel senso anche io avevo intuito si facesse così ma non ne ero certo). La pdf la ottendo derivando?

no

1) la pdf non esiste....sarà un refuso del prof...nel caso discreto si chiama pmf e l'hai già ottenuta prima di trovare la CDF

non si può derivare ma si può calcolare per differenza $p(x_(0))=F(x_(0))-F(x_(0)^-)$

...anche il punto d) è molto semplice

$X-={{: ( 0 , ;z<-1.07 ),( 1, ;-1.07<=z<-0.48 ),( 2 , ;-0.48<=z<0.04 ),( 3 , ;0.04<=z<0.65 ),( 4 , ;z>=0.65 ) :}$

ho arrotondato i quantili della normale std a due decimali. Essendo la distribuzione z continua le disuguaglianze deboli le puoi metterle dove vuoi tanto non cambia nulla

[vinci931]

Grazie mille. Utilissimo e gentilissimo