Variabili aleatorie, probabilità e convoluzione di densità
Ciao, ho svolto il seguente quesito di probabilità (posto un immagine perché il testo è un po lungo da scrivere)
vi scrivo come l'ho risolto io, mi serve un parere.
inizialmente ho rappresentato graficamente le densità di probabilità (pdf) delle due variabili aleatorie
[fcd="pdf A e B"][FIDOCAD]
LI 50 75 50 15 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 50 15 50 15 0
LI 35 70 135 70 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 135 70 135 70 0
RV 65 55 110 70 1
TY 60 70 2 2 0 0 2 * 10:38
TY 105 70 2 2 0 0 2 * 10:58
TY 40 55 2 2 0 0 2 * 1/20
TY 50 10 2 2 0 0 3 * pdf
TY 135 70 2 2 0 0 3 * t
[fcd="pdf B"][FIDOCAD]
LI 50 75 50 15 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 50 15 50 15 0
LI 35 70 135 70 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 135 70 135 70 0
RV 75 45 100 70 1
TY 70 70 2 2 0 0 2 * 10:45
TY 95 70 2 2 0 0 2 * 10:55
TY 40 45 2 2 0 0 2 * 1/10
TY 50 10 2 2 0 0 3 * pdf
TY 135 70 2 2 0 0 3 * t[/fcd]
dove il rettangolo alto e stretto è la $f_B(t)$ mentre il rettangolo basso e largo è la $f_A(t)$ e ho seguito questo ragionamento:
$A$ arriva tra le $[10:38, 10:58]$ e aspetta per $20 min$ questo significa che se arriva alle $10:38$ riparte alle $10:58$,
mentre se arriva alle $10:58$ riparte alle $11:18$
$B$ arriva tra le $[10:45, 10:55]$ e aspetta $5 min$ questo significa che se arriva alle $10:45$ riparte alle $10:50$, mentre se arriva alle $10:55$ riparte alle $11:00$
perciò affinché il passeggero del treno $A$ riesca a salire sul treno $B$, $A$ deve arrivare tra le $[10:38, 10:50]$ che è un intervallo di $12 min$ quindi ho pensato che la probabilità che il passeggerò riesca a salire su $B$ sia $Pr(B)=1/12=0.083$
mentre per quanto riguarda la variabile aleatoria $T$ l'intervallo in cui entrambi i treni sono fermi in stazione è appunto $[10:38, 10:50]$ e la sua pdf è rappresentata graficamente dalla convoluzione di $f_A(t)$ e $f_B(t)$ in questo intervallo e ho disegnato questo
[fcd="pdf T"][FIDOCAD]
LI 50 75 50 15 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 50 15 50 15 0
LI 35 70 150 70 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 135 70 135 70 0
LI 135 70 135 70 0
LI 105 70 105 70 0
LI 80 50 105 50 1
LI 105 50 120 70 1
LI 65 70 80 50 1
TY 40 50 2 2 0 0 2 * t/200
TY 50 10 2 2 0 0 3 * pdf
TY 150 70 2 2 0 0 3 * t
LI 80 50 80 70 5
FCJ 0 0 3 1 1 0
LI 105 50 105 70 5
FCJ 0 0 3 2 1 0[/fcd]
però non riesco a trovare l'intervallo per la base maggiore e la base minore, se si tratta di segnali non ho problemi, ma in questo caso lo guardo e resto così
mi servirebbe saper se secondo voi la probabilità che ho calcolato prima sia sensata, e che intervalli pensate ci siano nella convoluzione? help 
vi scrivo come l'ho risolto io, mi serve un parere.
inizialmente ho rappresentato graficamente le densità di probabilità (pdf) delle due variabili aleatorie
[fcd="pdf A e B"][FIDOCAD]
LI 50 75 50 15 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 50 15 50 15 0
LI 35 70 135 70 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 135 70 135 70 0
RV 65 55 110 70 1
TY 60 70 2 2 0 0 2 * 10:38
TY 105 70 2 2 0 0 2 * 10:58
TY 40 55 2 2 0 0 2 * 1/20
TY 50 10 2 2 0 0 3 * pdf
TY 135 70 2 2 0 0 3 * t
[fcd="pdf B"][FIDOCAD]
LI 50 75 50 15 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 50 15 50 15 0
LI 35 70 135 70 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 135 70 135 70 0
RV 75 45 100 70 1
TY 70 70 2 2 0 0 2 * 10:45
TY 95 70 2 2 0 0 2 * 10:55
TY 40 45 2 2 0 0 2 * 1/10
TY 50 10 2 2 0 0 3 * pdf
TY 135 70 2 2 0 0 3 * t[/fcd]
dove il rettangolo alto e stretto è la $f_B(t)$ mentre il rettangolo basso e largo è la $f_A(t)$ e ho seguito questo ragionamento:
$A$ arriva tra le $[10:38, 10:58]$ e aspetta per $20 min$ questo significa che se arriva alle $10:38$ riparte alle $10:58$,
mentre se arriva alle $10:58$ riparte alle $11:18$
$B$ arriva tra le $[10:45, 10:55]$ e aspetta $5 min$ questo significa che se arriva alle $10:45$ riparte alle $10:50$, mentre se arriva alle $10:55$ riparte alle $11:00$
perciò affinché il passeggero del treno $A$ riesca a salire sul treno $B$, $A$ deve arrivare tra le $[10:38, 10:50]$ che è un intervallo di $12 min$ quindi ho pensato che la probabilità che il passeggerò riesca a salire su $B$ sia $Pr(B)=1/12=0.083$
mentre per quanto riguarda la variabile aleatoria $T$ l'intervallo in cui entrambi i treni sono fermi in stazione è appunto $[10:38, 10:50]$ e la sua pdf è rappresentata graficamente dalla convoluzione di $f_A(t)$ e $f_B(t)$ in questo intervallo e ho disegnato questo
[fcd="pdf T"][FIDOCAD]
LI 50 75 50 15 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 50 15 50 15 0
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LI 135 70 135 70 0
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TY 40 50 2 2 0 0 2 * t/200
TY 50 10 2 2 0 0 3 * pdf
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LI 80 50 80 70 5
FCJ 0 0 3 1 1 0
LI 105 50 105 70 5
FCJ 0 0 3 2 1 0[/fcd]
però non riesco a trovare l'intervallo per la base maggiore e la base minore, se si tratta di segnali non ho problemi, ma in questo caso lo guardo e resto così
mi servirebbe saper se secondo voi la probabilità che ho calcolato prima sia sensata, e che intervalli pensate ci siano nella convoluzione? help
Risposte
Penso che non devi usare qui una convoluzione.
$P(t)$ è la probabilità che il viagiatore riesce a salire sul treno B.
$t \in [10:38, 10:48]: P(t)=1$
$t \in [10:48, 10:58]: P(t)=1-x/10$
con $x = t - 10:48$ in minuti
La risposta per la prima domanda è
$\frac{\int_{10:38}^{10:58}P(t)dt}{30}$
$P(t)$ è la probabilità che il viagiatore riesce a salire sul treno B.
$t \in [10:38, 10:48]: P(t)=1$
$t \in [10:48, 10:58]: P(t)=1-x/10$
con $x = t - 10:48$ in minuti
La risposta per la prima domanda è
$\frac{\int_{10:38}^{10:58}P(t)dt}{30}$
ho capito, ti ringrazio infinitamente
OT:
con Fidocadj si possono fare quei grafici!? Sono impressionato.
con Fidocadj si possono fare quei grafici!? Sono impressionato.
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