Variabili aleatorie $\mathcal{F}_\xi$-misurabili
Sto studiando il seguente teorema, che si può trovare a pagina 172 del libro Probability di Shiryayev (Theorem 3):
Sia $\eta$ una variabile aleatoria $\mathcal{F}_xi$ misurabile, allora esiste una funzione Borel-misurabile $\phi$ tale che \(\displaystyle \phi(\xi(\omega))=\eta(\omega) \), per ogni \(\displaystyle \omega\in\Omega \).
Nella notazione del teorema, si intende che \(\displaystyle (\Omega,\mathcal{F}) \) è lo spazio misurabile di partenza, \(\displaystyle \xi \) è una generica variabile aleatoria definita su \(\displaystyle \Omega \) e \(\displaystyle \mathcal{F}_\xi \) è la \(\displaystyle \sigma \)-algebra generata da \(\displaystyle \xi \) in \(\displaystyle \Omega \).
Prima di tutto, l'autore dimostra che ogni \(\displaystyle \eta \) del tipo combinazione lineare di funzioni indicatrici di eventi in \(\displaystyle \mathcal{F}_\xi \) è rappresentabile nella forma richiesta \(\displaystyle \phi(\xi(\omega)) \). Successivamente, scrive una più generica \(\displaystyle \eta \) come limite di una successione di variabili aleatorie discrete semplici \(\displaystyle \eta_n \), anch'esse sempre \(\displaystyle \mathcal{F}_{\xi} \)-misurabili, facendo emergere in tal modo delle corrispondenti funzioni Borel-misurabili \(\displaystyle \phi_n \) tali che \(\displaystyle \phi_n(\xi(\omega))=\eta_n(\omega) \). Prima di concludere, afferma che l'insieme \(\displaystyle \{x\in\mathbb{R}|\lim_n \phi_n \text{ esiste}\} \) è un insieme di Borel.
La mia domanda è semplicemente perché quest'ultimo insieme è di Borel.
Sono disponibile ad inviare in privato una foto-estratto della dimostrazione proposta nel testo.
Sia $\eta$ una variabile aleatoria $\mathcal{F}_xi$ misurabile, allora esiste una funzione Borel-misurabile $\phi$ tale che \(\displaystyle \phi(\xi(\omega))=\eta(\omega) \), per ogni \(\displaystyle \omega\in\Omega \).
Nella notazione del teorema, si intende che \(\displaystyle (\Omega,\mathcal{F}) \) è lo spazio misurabile di partenza, \(\displaystyle \xi \) è una generica variabile aleatoria definita su \(\displaystyle \Omega \) e \(\displaystyle \mathcal{F}_\xi \) è la \(\displaystyle \sigma \)-algebra generata da \(\displaystyle \xi \) in \(\displaystyle \Omega \).
Prima di tutto, l'autore dimostra che ogni \(\displaystyle \eta \) del tipo combinazione lineare di funzioni indicatrici di eventi in \(\displaystyle \mathcal{F}_\xi \) è rappresentabile nella forma richiesta \(\displaystyle \phi(\xi(\omega)) \). Successivamente, scrive una più generica \(\displaystyle \eta \) come limite di una successione di variabili aleatorie discrete semplici \(\displaystyle \eta_n \), anch'esse sempre \(\displaystyle \mathcal{F}_{\xi} \)-misurabili, facendo emergere in tal modo delle corrispondenti funzioni Borel-misurabili \(\displaystyle \phi_n \) tali che \(\displaystyle \phi_n(\xi(\omega))=\eta_n(\omega) \). Prima di concludere, afferma che l'insieme \(\displaystyle \{x\in\mathbb{R}|\lim_n \phi_n \text{ esiste}\} \) è un insieme di Borel.
La mia domanda è semplicemente perché quest'ultimo insieme è di Borel.
Sono disponibile ad inviare in privato una foto-estratto della dimostrazione proposta nel testo.
Risposte
Condizione di Cauchy.
Grazie, ma purtroppo non mi basta 
Ogni \(\displaystyle x \) in quell'insieme è quindi tale che \(\displaystyle |\phi_n(x)-\phi_m(x)|<\epsilon \), per indici \(\displaystyle n,m>N(\epsilon, x) \). Non riesco a usare questa cosa a mio favore.
Ogni \(\displaystyle x \) in quell'insieme è quindi tale che \(\displaystyle |\phi_n(x)-\phi_m(x)|<\epsilon \), per indici \(\displaystyle n,m>N(\epsilon, x) \). Non riesco a usare questa cosa a mio favore.
Invece di usare $\epsilon$ usa $1/n$.
Resto bloccato perchè quella condizione è puntuale, nel senso che N dipende anche da x.
Quell'insieme è ${x\inRR|AAn\inNNEEN\inNNAAi,j\inNN:i,j>N=>|\phi_i(x)-\phi_j(x)|<1/n}=$
$nnn_(n\inNN)uuu_(N\inNN)nnn_(i,j\inNN){x\inRR||\phi_i(x)-\phi_j(x)|<1/n}$, che è boreliano dato che le $\phi_n$ sono boreliane.
$nnn_(n\inNN)uuu_(N\inNN)nnn_(i,j\inNN){x\inRR||\phi_i(x)-\phi_j(x)|<1/n}$, che è boreliano dato che le $\phi_n$ sono boreliane.
Grazie mille e scusami se ti ho fatto arrivare a tanto 
No problem 
Sono ricapitato in questa discussione per caso e mi sono accorto che avevo sbagliato gli indici nell'ultima fomula ($i,j>N$, non $i,j\inNN$), ma comunque il succo non cambia.
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