Variabili aleatorie indipendenti e fattorizzazione

[Frullock]

Ciao a tutti,

Scrivo per un problema con le probabilità.
Mi trovo a dover analizzare tre processi stocastici a tempo continuo $ X, Y, Z$ che possono assumere un numero finito di valori.

Sapendo che $X$ ed $Y$ sono indipendenti e fattorizzano, cosa posso dire di $p(X,Y,Z)$?

Tramite simulazioni ottengo che questo vale
$p(X,Y,Z)=\frac{p(Y,Z)p(X,Z)}{p(Z)}$
è qualcosa di generale o vale solo in questo caso particolare?

Grazie mille,
Fabio


EDIT:
il seguente ragionamento è corretto?

Se so che $X$ e $Y$ fattorizzano, sono indipendenti, posso scrivere:
$p(X,Y,Z)=p(X|Y,Z)*p(Y,Z)$ ed usare il fatto che X è indipendente da Y per semplificare la probabilità condizionata in $p(X|Y,Z)=p(X|Z)$ ? Ottenendo quindi $p(X,Y,Z)=\frac{p(X,Z)p(Y,Z)}{p(Z)}$ ?

[DajeForte]

No non puoi.
Ti faccio il seguente esempio.
Lancia due monete e definisci X ed Y il loro risultato.
Definisco inoltre $Z=I_{X=Y}$ (indicatore su i due lanci sono uguali).
Queste sono a due a due indipendenti ma se le prendi tutte e tre non lo sono.

Dunque se ti condizioni a conoscere il risultato di $(Y,Z)$ sai anche il risultato di X (X è (Y,Z)-misurabile). Al contrario se conosci solo Z non ottieni informazioni su X.