Variabili aleatorie $>=0$ convergenti a $0$

[qwertyuio1]

Sia $X\geq0$ una variabile aleatoria non negativa. E' facile vedere che
$E[X]=0 \ \Rightarrow\ X=0\ q.c.$

Ora sia $X_n\geq0$, $n\in\NN$ una successione di variabili aleatorie non negative. Mi pare di ricordare che valga un risultato simile al precedente, ovvero
$E[X_n]\rightarrow0 \ \Rightarrow\ X_n\rightarrow0\ q.c.$

Tuttavia non riesco a ricostruire la dimostrazione di questo secondo fatto, potete aiutarmi?

[retrocomputer]

Non credo che si possa concludere la convergenza quasi certa a zero. Magari quella in probabilità...

[qwertyuio1]

Mi sa che hai ragione, probabilmente mi sono ingannato: se ciò che ho scritto fosse vero significherebbe che la convergenza in $L^1$ implica la convergenza quasi certa (il che è falso direi).

[retrocomputer]

C'è un esempietto fatto costruendo una successione di funzioni indicatrici di pezzi sempre più piccoli dell'intervallo [0,1], qualcosa del genere:
$X_1=I_{(0,1)}$, $X_2=I_{(0,1/2)}$, $X_3=I_{(1/2,1)}$, $X_4=I_{(0,1/4)}$, $X_5=I_{(1/4,1/2)}$...
che dovrebbe funzionare da controesempio, giusto?

[fu^2]

al massimo una sotto-successione convergente qc .

[qwertyuio1]

Direi che il controesempio funziona. La sottosuccessione convergente q.c. c'è di sicuro. Grazie a entrambi!