Variabili aleatorie di tipo esponenziale negativo

[bord89]

due lampadine vengono inserite in parallelo in un lampadario per l'illuminazione della stanza in modo che una possa continuare a funzionare anche quando l'altra si è ormai esaurita. esse hanno tempi di vita $T_1$ e $T_2$ modellati come variabili aleatorie indipendenti di tipo esponenziale negativo con valori medi rispettivamente pai a $\mu_1=\mu$ e $\mu_2=2\mu$.

calcolare la parobabilità che risulti $T_1>=T_2$;
calcolare il tempo medio durante il quale la stanza rimane illuminata da entrambe le lampadine.

per quanto riguarda la prima domanda io avevo pensato a calcolare la probabilità che $T_2$ fosse uguale a un certo $\tau$ e che contemporaneamente $\T_1>=\tau$ ma non saprei lo stesso andare avanti

[cenzo1]

"bord89":per quanto riguarda la prima domanda io avevo pensato a calcolare la probabilità che $T_2$ fosse uguale a un certo $\tau$ e che contemporaneamente $\T_1>=\tau$ ma non saprei lo stesso andare avanti

L'idea è buona, la devi tradurre in un integrale.
Tieni conto che $P(T_1>t)$ è il complemento della funzione di ripartizione esponenziale.. mentre l'altro pezzo è la densità di $T_2$

[bord89]

ok quindi ho calcolato $Pr{T_1>t}$ come $1-Pr{T_1 adesso però non ho capito come calcolare la prob che $T_2=t$ dato che la variabile non è discreta ma continua quindi non credo di poter calcolare la massa di probabilità. l'unica cosa che ho pensato è che una proprietà della densità di probabilità dice che $f_X(x)dx=Pr{x

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[cenzo1]

Direi così: $\int_{0}^{+\infty} Pr(T_1>t)*f_{T_2}(t)dt$

Le variabili sono indipendenti quindi puoi pensare al prodotto della prob. che $T_1>t$ e della prob. che $T_2$ assuma un valore in quell'intervallino. Poi integri su tutti i valori che t può assumere.

[bord89]

ok penso di aver capito. quindi risolvendo quell'integrale la probabilità di cui sopra mi viene 1/3 che a logica potrebbe essere giusto visto che è <1/2..
ora per quanto riguarda la seconda domanda, per trovare il tempo medio durante il quale la stanza rimane illuminata da entrambe le lampadine introduco la variabile aleatoria T="tempo medio di illuminazione da entrambe le lampadine", ci calcolo la funzione di distribuzione, poi la densità di probabilità e poi il valor medio. ora la $Pr{T
p.s. grazie per ora..

[cenzo1]

"bord89":T="tempo medio di illuminazione da entrambe le lampadine", ci calcolo la funzione di distribuzione, poi la densità di probabilità e poi il valor medio. ora la $Pr{T
Eliminerei quel "medio". La media della variabile la facciamo dopo

Avevo seguito lo stesso tuo procedimento... ed ero arrivato a dire che il valore medio era $7/3\mu$
Risultato evidentemente incoerente...

L'errore, subdolo, in effetti sta in partenza
$Pr{T Se T1 e T2 sono minori di t, allora la durata comune di entrambe non arriva a t !

Invece mi sembra corretto: $Pr{T>t}=Pr{T_1>t}*Pr{T_2>t}$

La soluzione segue facilmente senza bisogno di fare integrali..

[bord89]

ok ci sono!
allora $Pr{T>t}=Pr{T_1>t}*Pr{T_2>t}=e^(-3t/(2\mu))=1-Pr{T se non ho fatto errori grazie mille!!

[cenzo1]

Si, mi torna il risultato.
Si poteva anche notare che $F_T(t)=1-e^(-3t/(2\mu))$ è la CDF di una esponenziale di parametro $3/(2mu)$, avente quindi media $2/3mu$.
Prego, ciao.