Variabili Aleatorie Continue. Problemi Vari.

[abanob95]

Mi confermate / smentite i procedimenti?

Dalle statistiche di accesso al pronto soccorso, emerge che, a partire dalle 18.00,
il tempo che trascorre fino all’arrivo del primo paziente ha distribuzione esponenziale di parametro $λ = 6.9$,
con il tempo misurato in ore (quindi, per esempio, le ore 19.00 corrispondono a 1, le ore 18.30 a 0.5 ecc.).
Calcola:
(a) la probabilità che, a partire dalle 18.00, il primo paziente arrivi prima delle 18:15;
(b) la probab. che il primo paziente arrivi prima delle 18.45 , sapendo che non è arrivato prima delle 18.15.

(a)
$P(X<=1/4)=int_(0)^(1/4)lambdae^(-lambdax)dx=-e^(-lambdax)/lambdalambda|_(0)^(1/4)$ $=-e^(-lambda1/4)+1$
(b)
$P(X<3/4|$$X>1/4)$ $=(P(1/41/4))=(-e^(-lambdax)|_(1/4)^(3/4))/(e^(-lambda1/4))$
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Un autobus passa ogni 15 minuti dalle 8:00 in poi. Calcola la probabilità di aspettarlo
meno di 5 minuti e più di 10 minuti arrivando tra le 8:00 e le 8:30, assumendo che il
tempo di arrivo alla fermata abbia distribuzione uniforme.

Probabilità di aspettarlo meno di 5 minuti: $P(10 Probabilità di aspettarlo più di 10 minuti: $P(0 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sia X una variabile casuale distribuita uniformemente sull’intervallo [0, 2].
Calcola:
(a) la $pdf$ di $e^X$;
(b) $E[e^X]$ e $Var[e^X]$.

(a)
$int_(0)^(2)e^xdx=e^2-1, (e^2-1)C=1, C=1/(e^2-1), pdf=e^x/(e^2-1)$
(b)
$E[e^X]=int_(0)^(2)xe^x/(e^2-1)dx$
$Var(e^X)=int_(0)^(2)x^2e^x/(e^2-1)dx - (int_(0)^(2)xe^x/(e^2-1)dx)^2$

Grazie..

[ghira1]

"Abanob95":
Probabilità di aspettarlo meno di 5 minuti: $P(10 Probabilità di aspettarlo più di 10 minuti: $P(0

E di nuovo $2/3$ fra 5 e 10 minuti? Dovrebbe sembrarti strano.

[ghira1]

"Abanob95":
$int_(0)^(2)e^xdx=e^2-1, (e^2-1)C=1, C=1/(e^2-1), pdf=e^x/(e^2-1)$

E questo dove? I valori più alti sono più probabili, dici?

Simuliamo la cosa!

#!/usr/bin/perl

$alto=1+(exp(2)-1)*0.9;
$basso=1+(exp(2)-1)*0.1;

while (1) {


        $x=exp(rand(2));
        if ($x<$basso) {
                $piccolo++;
                }       
        if ($x>$alto) {
                $grande++;
                }
        if ($piccolo>0) {
                $r=$grande/$piccolo;
                print $r."\n";
                }       
        }              

Dopo qualche secondo...

$0.1835$qualcosa - i valori alti sembrano decisamente meno comuni di quelli piccoli.

Potrei essermi sbagliato, ovviamente, ma non mi pare che i valori alti siano più probabili.

[ghira1]

"Abanob95":
$E[e^X]=int_(0)^(2)xe^x/(e^2-1)dx$
$Var(e^X)=int_(0)^(2)x^2e^x/(e^2-1)dx - (int_(0)^(2)xe^x/(e^2-1)dx)^2$

E che valori hanno questi?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... e%5E2-1%29

dice per il primo valore $1,3130$

ma

#!/usr/bin/perl

while (1) {


        $t+=exp(rand(2));
        $n++;
        $m=$t/$n;
        print $m."\n";
        }   

dice $3,19$qualcosa. Hmm. Anche qui, potrei essermi sbagliato.

[abanob95]

"ghira":[quote="Abanob95"]
Probabilità di aspettarlo meno di 5 minuti: $P(10 Probabilità di aspettarlo più di 10 minuti: $P(0

E di nuovo $2/3$ fra 5 e 10 minuti? Dovrebbe sembrarti strano.[/quote]

E' Strano perché i valori sono uguali o perché la loro somma è > 1? o mi stai dicendo un'altra cosa ancora?

[ghira1]

"Abanob95":

E' Strano perché i valori sono uguali o perché la loro somma è > 1? o mi stai dicendo un'altra cosa ancora?

È strano perché la loro somma è maggiore di 1.

[ghira1]

"Abanob95": ha distribuzione esponenziale di parametro $λ = 6.9$

Ci sono (almeno?) due significati di "parametro", purtroppo. Il tuo libro/corso quale usa?

[abanob95]

"ghira":[quote="Abanob95"]
$int_(0)^(2)e^xdx=e^2-1, (e^2-1)C=1, C=1/(e^2-1), pdf=e^x/(e^2-1)$

E questo dove? I valori più alti sono più probabili, dici?[/quote]

Per le $x in [0,2]$.
Comunque non mi sembra sbagliato che i valori più alti siano più probabili essendo una pdf esponenziale..
Anche perché in alternativa cosa avrei potuto fare? Invece che $Cint_(0)^(2)e^xdx = 1$ se faccio $Cint_(0)^(2)e^(1/2)dx=1$ ottengo di nuovo $f(x)=1/2$ per le $x in [0,2]$, che è la pdf di partenza..

[abanob95]

"ghira":[quote="Abanob95"] ha distribuzione esponenziale di parametro $λ = 6.9$

Ci sono (almeno?) due significati di "parametro", purtroppo. Il tuo libro/corso quale usa?[/quote]

La nostra definizione è questa:

La densità di probabilità di una variabile casuale esponenziale è $f(x)=λe^(−λx)$ per $x ≥ 0$ e $0$ altrimenti.
Il valore attesto viene $1/lambda$ e la varianza $1/lambda^2$

[abanob95]

"ghira":[quote="Abanob95"]
Probabilità di aspettarlo meno di 5 minuti: $P(10 Probabilità di aspettarlo più di 10 minuti: $P(0

E di nuovo $2/3$ fra 5 e 10 minuti? Dovrebbe sembrarti strano.[/quote]

Ho sbagliato a costruire la pdf uniforme mi sa, dovrebbe essere uniforme sull'intervallo $[0,30]$ che è quello che stiamo esaminando, non su $[0,15]$...
quindi $1/15$ diventa $1/30$ e le due probabilità $1/3$ ??

[ghira1]

"Abanob95":
Ovviamente per le $x in [0,2]$

Ovviamente?

[abanob95]

"ghira":[quote="Abanob95"]
Ovviamente per le $x in [0,2]$

Ovviamente?[/quote]

Ho tolto l'ovviamente.
Ma parlavamo di variabile definita in quell'intorno e zero altrimenti, o non centra?

Sinceramente certe sue risposte non so come interpretarle perché non mi è chiaro se lei sa perfettamente le cose e cerca di aiutarmi un granello di sabbia alla volta, o se sta cercando di capire con me.

Ad ogni modo grazie sempre per le risposte

[ghira1]

"Abanob95":
Ma parlavamo di variabile definita in quell'intorno e zero altrimenti, o non centra?

Ma se $x$ è fra 0 e 2, $e^x$ cosa sarà?

"Abanob95":
Sinceramente certe sue risposte non so come interpretarle perché non mi è chiaro se lei sa perfettamente le cose e cerca di aiutarmi un granello di sabbia alla volta, o se sta cercando di capire con me.

"perfettamente" magari è troppo. Ma ti mostro come puoi renderti conto sperimentalmente che qualcosa non va con alcune delle tue risposte. Spesso cerco di rispondere in maniera abbastanza minimalista. Per esempio, rispondo "0<4" e basta se mi sembra opportuno.

[ghira1]

Generiamo 100 valori dalla tua distribuzione trasformata e li mettiamo in ordine.

#!/usr/bin/perl

for (1..100) {
        $x=exp(rand(2));
       push @list, $x; 
       }              

@list2 = sort @list;

for (0..99) {
        print $list2[$_]."\n";
        }

Vediamo quanti sono 1,qualcosa e quanti sono 6,qualcosa. E notiamo che non sono tutti fra 0 e 2. Anzi, fra 0 e 1 non c'è niente.

risultati:

1.00784630652494
1.02928231669806
1.07736402009904
1.09111300924293
1.09907238001737
1.13327341370974
1.14759970115633
1.1861669756251
1.20400318176751
1.21617027664615
1.2252554577267
1.25690297349006
1.31974559888984
1.32393874361691
1.33271017776462
1.34726746795224
1.37672136470539
1.4076227998607
1.40967419779264
1.42014597219664
1.43294284770299
1.4349670738372
1.45608753411706
1.51295953974059
1.54046151396761
1.55073608491081
1.55647467343981
1.61466637329143
1.69617953206029
1.76568408870231
1.77456017677123
1.85086500790183
1.88990787352543
1.91508344012398
1.9378480844123
1.95308575317
2.15597862914571
2.1967307974421
2.25526971122946
2.39617191948698
2.40149069663037
2.4152047427989
2.47851122514366
2.48034579362573
2.50217105604607
2.53694183145771
2.58037461045708
2.5845420117461
2.61706938236624
2.70209333719685
2.71751327915298
2.79819887815194
2.88754578015219
2.88952176797614
2.90858758593058
2.9651085540028
3.09041444996334
3.09161578948429
3.09930819741876
3.29330215897069
3.29685997221934
3.38086275799484
3.41318243499321
3.62833310378101
3.63868865236414
3.67552834558213
3.75343693345276
3.98617264009708
4.04775484024159
4.10435256211754
4.24490187288519
4.38236830967781
4.45300577497377
4.45998831270268
4.47882144195421
4.51154871045549
4.57334519773511
4.59080484651789
4.64517888414117
4.75368915926382
4.76852593306082
4.86017425756378
4.89257432925288
4.95042536236797
5.08181753055109
5.13428663873646
5.13835004851619
5.30933821191904
5.320727310344
5.50343208408722
5.62719844854203
5.85204251548453
6.31560606216715
6.45422821404003
6.76232237539587
6.80741545200434
6.84454012645261
6.97254411877481
7.02405934987424
7.30093577173537

[abanob95]

"ghira":
Ma se $x$ è fra 0 e 2, $e^x$ cosa sarà?

Forse sei riuscito ad illuminarmi!..

Allora la pdf è: $1/(2x)$ per le $x in [1,e^2]$ e $0$ altrove.
Se faccio il valore atteso mi viene il 3,19 di cui parlavi..

Il problema dell'autobus invece va bene avendo corretto l'intervallo della variabile uniforme?
E quello dell'ospedale?

[abanob95]

"Abanob95":
Il problema dell'autobus invece va bene avendo corretto l'intervallo della variabile uniforme?

Provo a rispondermi da solo...

Se ho capito bene la distribuzione uniforme riguarda la probabilità dell'arrivo della persona in fermata.
Sappiamo che la persona arriva fra le $8:00$ e le $8:30$ quindi mi ricavo che:
La variabile è distribuita uniformemente su $[0,30]$ e quindi $f(x)=1/30$ per le $x in [0,30]$ e $0$ altrove.

Sappiamo che l'autobus parte alle $8:00$ e passa ogni $15$ minuti.
Da questa informazione mi ricavo che:
Probabilità di aspettarlo meno di $5$ minuti: $P(10 Probabilità di aspettarlo più di $10$ minuti: $P(0
Le varie probabilità $P(a E vengono rispettivamente $1/3$, e posso verificare che la probabilità di aspettarlo fra $5$ e $10$ minuti è $1-(1/3+1/3)=1/3=int_(5)^(10)1/30dx+int_(20)^(25)1/30dx$
Oppure verificare che la probabilità di aspettarlo più di $5$ minuti è $1-1/3=2/3=int_(0)^(10)1/30dx+int_(15)^(25)1/30dx$

[abanob95]

"Abanob95":
E quello dell'ospedale?

Anche qua provo a rispondermi da solo...

Dal testo si capisce che: Il tempo parte alle $18:00$ che quindi sarà il $t=0$ misurato in ore, e che trascorre fino all’arrivo del primo paziente con distribuzione esponenziale di parametro λ e quindi $pdf(t)=lambdae^-(lambdat)$

(a) la probabilità che, a partire dalle 18.00, il primo paziente arrivi prima delle 18:15
$P(t<=1/4)=F(1/4)=1-e^(-lambda1/4)$
(b) la probabilità che il primo paziente arrivi prima delle 18.45 , sapendo che non è arrivato prima delle 18.15
$P(t<=3/4$$|t>1/4)$ $=(P(1/41/4))=(int_(1/4)^(3/4)lambdae^(-lambdat)dt)1/(e^(-lambda1/4))=1-e^(-1/2lambda)=F(1/2)=P(t<=1/2)$
Quest'ultima uguaglianza sarebbe una prova della mancanza di memoria? (cit. Wikipedia perché nel corso non ne abbiamo parlato)

[ghira1]

"Abanob95":
Il problema dell'autobus invece va bene avendo corretto l'intervallo della variabile uniforme?
E quello dell'ospedale?

Credo ok tutti e due.

[ghira1]

"Abanob95":
Quest'ultima uguaglianza sarebbe una prova della mancanza di memoria? (cit. Wikipedia perché nel corso non ne abbiamo parlato)

Sì.

[abanob95]

Grazie!