Variabili aleatorie congiunte
Siano [tex]X_{1} X_{2} X_{3}[/tex] tre V.A. indipendenti e identicamente distribuite secondo il modello uniforme in [tex](0,1)[/tex]; determinare la propabilità che la più grande delle tre sia maggiore della somma delle altre due.
Mi date una per impostare il problema?
Usando il th. delle probabilità totali, posso esprimere la probabilità richiesta come:
[tex]P[X_{1}>X_{2}+X_{3}|X_{1}=max]P[X_{1}=max]+[/tex] [tex]+P[X_{2}>X_{3}+X_{1}|X_{2}=max]P[X_{2}=max]+[/tex] [tex]+P[X_{3}>X_{1}+X_{2}|X_{3}=max]P[X_{3}=max][/tex]
...va bene procedere così ?
Mi date una per impostare il problema?
Usando il th. delle probabilità totali, posso esprimere la probabilità richiesta come:
[tex]P[X_{1}>X_{2}+X_{3}|X_{1}=max]P[X_{1}=max]+[/tex] [tex]+P[X_{2}>X_{3}+X_{1}|X_{2}=max]P[X_{2}=max]+[/tex] [tex]+P[X_{3}>X_{1}+X_{2}|X_{3}=max]P[X_{3}=max][/tex]
...va bene procedere così ?
Risposte
Oggi ho pensato al problema e sono giunto a questo punto :
Anzichè esprimere la probabilità con le condizionate, faccio un passo indietro e uso l'intersezione e posso quindi esprimere la probabilità richiesta come :
[tex]P[X_{3}>(X_{1}+X_{2}) \cap X_{3}=max][/tex] + [tex]P[X_{2}>(X_{1}+X_{3}) \cap X_{2}=max][/tex] +[tex]P[X_{1}>(X_{3}+X_{2} )\cap X_{1}=max][/tex]
Inoltre, essendo le tre variabili aleatorie indinstinguibili tra di loro, uso la notazione [tex]X,Y,Z[/tex] per indicare che ciò che scrivo vale a prescindere da quale tra [tex]X_{1} X_{2} X_{3}[/tex] sia il massimo :
[tex]P[Z>(Y+X )\cap Z=max ]=P[Z>(Y+X)]P[Z=max]= P[Z>(Y+X)]P[Z>X \cap Z>Y][/tex]
[tex]=P[Z>(Y+X)]P[Z>X]P[Z>Y ][/tex] dato che le le tre variabili sono indipendenti.
A questo punto devo calcolare separatamente le tre probabilità; visto che le variabili sono indipendente, allora
[tex]f_{xyz}[/tex][tex]=f_{x} f_{y} f_{z}[/tex]. Allora per esempio:
[tex]P[Z>Y ]= \iiint_{V} \, f_{x} f_{y} f_{z} dx\,dy\,dz[/tex] dove [tex]V[/tex] è il volume di [tex]\mathbb{R}^3[/tex] tale che [tex]Z>Y[/tex]. Successivamente pensavo di ragionare allo stesso modo per le altre due, ma prima di procedere vorrei sentire il parere di qualcuno di voi...
Anzichè esprimere la probabilità con le condizionate, faccio un passo indietro e uso l'intersezione e posso quindi esprimere la probabilità richiesta come :
[tex]P[X_{3}>(X_{1}+X_{2}) \cap X_{3}=max][/tex] + [tex]P[X_{2}>(X_{1}+X_{3}) \cap X_{2}=max][/tex] +[tex]P[X_{1}>(X_{3}+X_{2} )\cap X_{1}=max][/tex]
Inoltre, essendo le tre variabili aleatorie indinstinguibili tra di loro, uso la notazione [tex]X,Y,Z[/tex] per indicare che ciò che scrivo vale a prescindere da quale tra [tex]X_{1} X_{2} X_{3}[/tex] sia il massimo :
[tex]P[Z>(Y+X )\cap Z=max ]=P[Z>(Y+X)]P[Z=max]= P[Z>(Y+X)]P[Z>X \cap Z>Y][/tex]
[tex]=P[Z>(Y+X)]P[Z>X]P[Z>Y ][/tex] dato che le le tre variabili sono indipendenti.
A questo punto devo calcolare separatamente le tre probabilità; visto che le variabili sono indipendente, allora
[tex]f_{xyz}[/tex][tex]=f_{x} f_{y} f_{z}[/tex]. Allora per esempio:
[tex]P[Z>Y ]= \iiint_{V} \, f_{x} f_{y} f_{z} dx\,dy\,dz[/tex] dove [tex]V[/tex] è il volume di [tex]\mathbb{R}^3[/tex] tale che [tex]Z>Y[/tex]. Successivamente pensavo di ragionare allo stesso modo per le altre due, ma prima di procedere vorrei sentire il parere di qualcuno di voi...
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