Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane
Innanzitutto ringrazio il forum per le possibilità che ci mette a disposizione ed eventuali persone che si interesseranno ai miei quesiti.
Il seguente esercizio:
Siano X e Y due variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane, con medie nulle, varianze unitarie, e coefficiente
di correlazione \rho = 0:5, e si consideri la seguente trasformazione:
$ { ( U= aX + Y ),( V = aX - Y ):} $
(a) Determinare, in funzione di a, la pdf congiunta delle variabili aleatorie U e V .
(b) Stabilire per quali valori di a le variabili aleatorie U e V sono statisticamente indipendenti.
Premetto che questo esercizio è uscito alla prova scritta dell'esame di teoria dei fenomeni aleatori che purtroppo non ho superato e premetto anche che con le gaussiane ho notevoli difficoltà, detto questo scrivo cosa ho tentato di fare:
Innanzitutto per trovare la pdf congiunta di U e V ho applicato il teorema delle trasformazioni di coppie di v.a. che riscrivo:
considerato il sistema:
$ { ( u= ax + y ),( v = ax - y ):} $
la pdf congiunta di (U,V) sarà:
$ f_(UV)(u,v) = (f_(XY)(x_i,y_i))/ det [J(x _i,y_ i)] $ dove $ (x_i,y_i) $ è la soluzione del sistema e la matrice j è la matrice jacobiana della trasformazione.
Nello specifico ho ottenuto questo risultato, che non so se è giusto:
$ 1/(2a)*f_(XY)((u+v)/2a,(u-v)/2) =1/(2pisqrt3a)*exp[-2/3[((u+v)/(2a))^2-((u+v)/(2a)*(u+v)/2)+ ((u-v)/2)^2] $
Per la seconda parte dell'esercizio ho provato a determinare a utilizzando la relazione pdf congiunta uguale alla fattorizzazione delle pdf marginali, ma potete immaginare che è stato difficilissimo risolvere gli integrali per trovare le marginali e ad un certo punto mi sono bloccato. Penso che si debba utilizzare qualche relazione con il coefficiente di correlazione, ma per il momento non ci sono riuscito e il testo che uso (Probabilità e informazione di Giacinto Gelli a chi interessa) non ha saputo chiarirmi le idee. Spero che qualcuno di voi ci riesca.
P.s. chiedo scusa anticipatamente se non ho saputo utilizzare il linguaggio correttamente o se ho violato qualche regolamento, chiedo clemenza per il mio primo messaggio
e ne avrei tanti ancora...
Il seguente esercizio:
Siano X e Y due variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane, con medie nulle, varianze unitarie, e coefficiente
di correlazione \rho = 0:5, e si consideri la seguente trasformazione:
$ { ( U= aX + Y ),( V = aX - Y ):} $
(a) Determinare, in funzione di a, la pdf congiunta delle variabili aleatorie U e V .
(b) Stabilire per quali valori di a le variabili aleatorie U e V sono statisticamente indipendenti.
Premetto che questo esercizio è uscito alla prova scritta dell'esame di teoria dei fenomeni aleatori che purtroppo non ho superato e premetto anche che con le gaussiane ho notevoli difficoltà, detto questo scrivo cosa ho tentato di fare:
Innanzitutto per trovare la pdf congiunta di U e V ho applicato il teorema delle trasformazioni di coppie di v.a. che riscrivo:
considerato il sistema:
$ { ( u= ax + y ),( v = ax - y ):} $
la pdf congiunta di (U,V) sarà:
$ f_(UV)(u,v) = (f_(XY)(x_i,y_i))/ det [J(x _i,y_ i)] $ dove $ (x_i,y_i) $ è la soluzione del sistema e la matrice j è la matrice jacobiana della trasformazione.
Nello specifico ho ottenuto questo risultato, che non so se è giusto:
$ 1/(2a)*f_(XY)((u+v)/2a,(u-v)/2) =1/(2pisqrt3a)*exp[-2/3[((u+v)/(2a))^2-((u+v)/(2a)*(u+v)/2)+ ((u-v)/2)^2] $
Per la seconda parte dell'esercizio ho provato a determinare a utilizzando la relazione pdf congiunta uguale alla fattorizzazione delle pdf marginali, ma potete immaginare che è stato difficilissimo risolvere gli integrali per trovare le marginali e ad un certo punto mi sono bloccato. Penso che si debba utilizzare qualche relazione con il coefficiente di correlazione, ma per il momento non ci sono riuscito e il testo che uso (Probabilità e informazione di Giacinto Gelli a chi interessa) non ha saputo chiarirmi le idee. Spero che qualcuno di voi ci riesca.
P.s. chiedo scusa anticipatamente se non ho saputo utilizzare il linguaggio correttamente o se ho violato qualche regolamento, chiedo clemenza per il mio primo messaggio
e ne avrei tanti ancora...
Risposte
Io partirei dal fatto che somma di variabili normali sono ancora normali. Poi calcolati la media varianza e covarianza di U e V e hai finito
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