Variabili aleatorie assolutamente continue:esercizio
Salve a tutti,
vi posto l'esercizio del mio prof e in seguito vi esporrò i miei dubbi. Grazie mille in anticipo !
1)
Nel verificare che è una funzione densità, io so che per ogni funzione densità si ha $int_-infty^infty f(t)dt=1$, perchè lui riduce il tutto all'intervallo $0<=x<=2$ ?
2)
Quando si calcola la funzione di distribuzione per una variabile assolutamente continua si dovrebbe fare $int_-infty^x f(t)dt$.
Quindi per $x<=0$ dovrebbe fare $int_-infty^0 f(t) dt$ e giustamente risulta $0$ perchè la funzione densità $f(t)$ vale $0$ in quell'intervallo e l'integrale di zero è zero.
Quando invece calcola la funzione di distribuzione per $0<=x<=2$ non dovrebbe fare $int_-infty^2f(t)dt$ ? dove $f(t)=1/2x$?Il mio problema è che non capisco perchè invece calcola l'integrale tra $0$ ed $x$.
vi posto l'esercizio del mio prof e in seguito vi esporrò i miei dubbi. Grazie mille in anticipo !
1)
Nel verificare che è una funzione densità, io so che per ogni funzione densità si ha $int_-infty^infty f(t)dt=1$, perchè lui riduce il tutto all'intervallo $0<=x<=2$ ?
2)
Quando si calcola la funzione di distribuzione per una variabile assolutamente continua si dovrebbe fare $int_-infty^x f(t)dt$.
Quindi per $x<=0$ dovrebbe fare $int_-infty^0 f(t) dt$ e giustamente risulta $0$ perchè la funzione densità $f(t)$ vale $0$ in quell'intervallo e l'integrale di zero è zero.
Quando invece calcola la funzione di distribuzione per $0<=x<=2$ non dovrebbe fare $int_-infty^2f(t)dt$ ? dove $f(t)=1/2x$?Il mio problema è che non capisco perchè invece calcola l'integrale tra $0$ ed $x$.
Risposte
la risposta è più o meno la stessa per entrambi i punti..
la funzione è definita (o meglio, assume valori non negativi) solo nell'intervallo $[0,2]$, di conseguenza:
$int_{-oo}^{oo} f(t)dt=int_{-oo}^0 f(t)dt+int_0^2 f(t)dt+int_2^{oo} f(t)dt= 0 + int_0^2 f(t)dt + 0 = int_0^2 f(t)dt$
la funzione è definita (o meglio, assume valori non negativi) solo nell'intervallo $[0,2]$, di conseguenza:
$int_{-oo}^{oo} f(t)dt=int_{-oo}^0 f(t)dt+int_0^2 f(t)dt+int_2^{oo} f(t)dt= 0 + int_0^2 f(t)dt + 0 = int_0^2 f(t)dt$
nota, la scomposizione dell'integrale sopra è valida esattamente proprio perché trattasi di v.c. assolutamente continua, i.e. non ci sono punti di massa non nulla.
mi sono reso conto di non aver risposto al secondo punto, pardon!
la funzione di distribuzione è una funzione di $x$, tu sei interessato ad avere qualcosa che ti dia l'area sottesa alla curva al variare di x, se la calcoli in $[0,2]$ otterrai per forza $1$, perché avrai calcolato tutta l'area non nulla!
la funzione di distribuzione è una funzione di $x$, tu sei interessato ad avere qualcosa che ti dia l'area sottesa alla curva al variare di x, se la calcoli in $[0,2]$ otterrai per forza $1$, perché avrai calcolato tutta l'area non nulla!
Grazie
di niente, è chiaro o vuoi che provi a rispiegarlo?
Grazie
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