Variabile uniforme e trasformazione
Salve a tutti. In questi giorni, mi sto scervellando per capire bene il funzionamento delle trasformazioni di variabili aleatorie, e anche un esercizio considerato semplice, non riesco ad eseguirlo correttamente. Dunque, ho una $ X~ U(-10,20) $ (distribuzione uniforme), e devo calcolare la funzione di densità della trasformazione $ Y=X^2 $.
Dunque, essendo la trasformazione non monotona, ricavo le 2 possibili funzioni inverse, e ne calcolo la derivata:
$ x=G1(y)=sqrt(y) $ e $ x=G2(y)=-sqrt(y) $
$ G1'=1/(2*sqrt(y) $ e $ G2'=-1/(2*sqrt(y) $
Dopodiché, eseguendo la formula della sommatoria, trovo che:
$ fX(G1(y))*abs(G1'(y))+fX(G2(y))*abs(G2'(y))=(1/30+1/30)/abs(2*sqrt(y))=(2/30)/abs(2*sqrt(y)) $
Il problema è che questo risultato non è corretto, visto che si può verificare che essa non è una funzione di densità, in quanto l'integrale (ovviamente calcolato sul "nuovo" supposrto) in questione non converge a 1. Dove sta l'errore nei passaggi che ho eseguito?
Dunque, essendo la trasformazione non monotona, ricavo le 2 possibili funzioni inverse, e ne calcolo la derivata:
$ x=G1(y)=sqrt(y) $ e $ x=G2(y)=-sqrt(y) $
$ G1'=1/(2*sqrt(y) $ e $ G2'=-1/(2*sqrt(y) $
Dopodiché, eseguendo la formula della sommatoria, trovo che:
$ fX(G1(y))*abs(G1'(y))+fX(G2(y))*abs(G2'(y))=(1/30+1/30)/abs(2*sqrt(y))=(2/30)/abs(2*sqrt(y)) $
Il problema è che questo risultato non è corretto, visto che si può verificare che essa non è una funzione di densità, in quanto l'integrale (ovviamente calcolato sul "nuovo" supposrto) in questione non converge a 1. Dove sta l'errore nei passaggi che ho eseguito?
Risposte
Il problema qui è che la funzione di trasformazione oltre a non essere monotona non è nemmeno simmetrica
(nel grafico i numeri sono espressi in decine sulle ascisse ed in centinaia sulle ordinate) e qundi occorre scegliere con attenzione come partizionare l'intervallo. Se invece di applicare ostinatamente e pedissequamente la formuletta del libro con la sommatoria ed arrivando a risultati assurdi avessi letto con attenzione come ho risolto l'esempio di ieri, avresti immediatamente dedotto che
1) quando $y in (0;100)$
$F_Y(y)=F_X(\sqrt(y))-F_X(-\sqrt(y))=1/15sqrt(y)$
2) quando $y in [100;400)$
$F_Y(y)=(\sqrt(y)+10)/30$
Derivando si ottiene (la formula del libro non è altro che il risultato del mio ragionamento già derivato)
$f_Y(y)=1/(30sqrt(y))\cdot\mathbb(1)_{(0;100)}(y)+1/(60sqrt(y))\cdot\mathbb(1)_{[100;400)}(y)$
La densità cercata l'ho scritta in modo compatto con l'uso delle funzioni indicatrici ma ciò non è obbligatorio.
come già detto più volte, cercare sul forum aiuta. Questo, ad esempio, è identico al tuo esercizio
-------------------
Come applicare la formula precotta del libro?
dato che la densità di partenza è uniforme, cioè costante e pari a $1/30$, basta calcolare la derivata in valore assoluto della funzione di trasformazione (inverita) ottenendo $1/(2sqrt(y))$ e prendere 2 volte (cioè la somma) della densità ottenuta
$f_Y(y)=2\cdot 1/30\cdot1/(2sqrt(y))=1/(30sqrt(y))$
quando $y in (0;100)$
mentre una volta sola la densità quando $y in [100;400)$, ovvero
$f_Y(y)=1/(60sqrt(y))$
--------------------------
Qui trovi una spiegazione passo passo.
domanda: ma quando studiate aprite i libri, internet, tutorial oppure il tutto si riduce ad applicare pedissequamente una formuletta che vi viene propinata? (ovviamente non serve una risposta, la domanda è retorica)
(nel grafico i numeri sono espressi in decine sulle ascisse ed in centinaia sulle ordinate) e qundi occorre scegliere con attenzione come partizionare l'intervallo. Se invece di applicare ostinatamente e pedissequamente la formuletta del libro con la sommatoria ed arrivando a risultati assurdi avessi letto con attenzione come ho risolto l'esempio di ieri, avresti immediatamente dedotto che
1) quando $y in (0;100)$
$F_Y(y)=F_X(\sqrt(y))-F_X(-\sqrt(y))=1/15sqrt(y)$
2) quando $y in [100;400)$
$F_Y(y)=(\sqrt(y)+10)/30$
Derivando si ottiene (la formula del libro non è altro che il risultato del mio ragionamento già derivato)
$f_Y(y)=1/(30sqrt(y))\cdot\mathbb(1)_{(0;100)}(y)+1/(60sqrt(y))\cdot\mathbb(1)_{[100;400)}(y)$
La densità cercata l'ho scritta in modo compatto con l'uso delle funzioni indicatrici ma ciò non è obbligatorio.
come già detto più volte, cercare sul forum aiuta. Questo, ad esempio, è identico al tuo esercizio
-------------------
Come applicare la formula precotta del libro?
dato che la densità di partenza è uniforme, cioè costante e pari a $1/30$, basta calcolare la derivata in valore assoluto della funzione di trasformazione (inverita) ottenendo $1/(2sqrt(y))$ e prendere 2 volte (cioè la somma) della densità ottenuta
$f_Y(y)=2\cdot 1/30\cdot1/(2sqrt(y))=1/(30sqrt(y))$
quando $y in (0;100)$
mentre una volta sola la densità quando $y in [100;400)$, ovvero
$f_Y(y)=1/(60sqrt(y))$
--------------------------
Qui trovi una spiegazione passo passo.
domanda: ma quando studiate aprite i libri, internet, tutorial oppure il tutto si riduce ad applicare pedissequamente una formuletta che vi viene propinata? (ovviamente non serve una risposta, la domanda è retorica)
"tommik":
Il problema qui è che la funzione di trasformazione oltre a non essere monotona non è nemmeno simmetrica
domanda: ma quando studiate aprite i libri, internet, tutorial oppure il tutto si riduce ad applicare pedissequamente una formuletta che vi viene propinata? (ovviamente non serve una risposta, la domanda è retorica)
Intanto, grazie per la risposta. Riguardo alla tua domanda, uno le formule cerca anche di impararle e interpretarle, però permettimi dire che se su una dispensa viene scritto "questo si ricava così, quest'altro così, ecc.", in certi casi è ovvio che viene preso per buono, soprattutto quando non c'è il tempo per fare la dimostrazione. Facciamo prima a dire che magari, le spiegazioni talvolta sono imprecise in quanto incomplete, e quindi a livello pratico portano a compiere degli errori. Fatto sta che applicando la formula trovata sulle dispense (e lì non viene assolutamente asserito che la trasformazione deve essere simmetrica), ho commesso un errore.
ma io non ho detto che per applicare la formula la trasformazione deve essere simmetrica. Ho semplicemente detto che, non essendo simmetrica, occorre un minimo di attenzione in più. Tutto qui.
Prima di applicare la formula è obbligatorio fare il grafico e rendersi conto di che cosa si stia facendo...
Prima di applicare la formula è obbligatorio fare il grafico e rendersi conto di che cosa si stia facendo...
"tommik":
ma io non ho detto che per applicare la formula la trasformazione deve essere simmetrica. Ho semplicemente detto che, non essendo simmetrica, occorre un minimo di attenzione in più. Tutto qui.
Prima di applicare la formula è obbligatorio fare il grafico e rendersi conto di che cosa si stia facendo...
No, perdonami... se applicando la formula in questo esercizio ho commesso un errore, significa che evidentemente in questo caso non è valida. Oppure in quelle uguaglianze, c'è un errore?
la formula è validissima anche in questo caso e mi pare di averlo spiegato chiaramente. Il problema è capire, guardando il grafico che il supporto va diviso in due casi.
1. $Y in (0;100)$ oppure $X in (-10;10)$
Qui la trasformazione non è monotona...applichi la tua formuletta.
2. $Y in [100;400)$ oppure $X in [10;20)$ e qui la trasformazione è monotona....hai la stessa formula più semplice.
1. $Y in (0;100)$ oppure $X in (-10;10)$
Qui la trasformazione non è monotona...applichi la tua formuletta.
2. $Y in [100;400)$ oppure $X in [10;20)$ e qui la trasformazione è monotona....hai la stessa formula più semplice.
"tommik":
la formula è validissima anche in questo caso e mi pare di averlo spiegato chiaramente. Il problema è capire, guardando il grafico che il supporto va diviso in due casi.
1. $Y in (0;100)$ oppure $X in (-10;10)$
Qui la trasformazione non è monotona...applichi la tua formuletta.
2. $Y in [100;400)$ oppure $X in [10;20)$ e qui la trasformazione è monotona....hai la stessa formula più semplice.
Ragionando un attimino sul link che hai allegato, sono giunto ad una conclusione, che comunque mi sembra (non vorrei aver detto una scemenza) che sia equivalente:
$ fy(Y)=1/(60*sqrt(y))*I(0,400)+1/(60*sqrt(y))*I(0,100] $
Questo credo sia proprio lo stesso modo di scrivere $1/(60*sqrt(y))*I(100,400)+1/(30*sqrt(y))*I(0,100] $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo