Variabile geometrica?
Salve amici 
Ho questo quesito di probabilità di un vecchio appello dove ci sta un sistema di componenti e si fissa l'attenzione sul componente di riserva che si attiva non appena gli altri componenti non funzionano; il quesito dice:
Immaginando che la commutazione non avvenga istantaneamente ma prenda un tempo aleatorio, di media 3 sec., e che occorrano sicuramente tre tentativi per realizzarla con successo, calcolare la probabilità che la durata della commutazione sia inferiore a 6 sec.
Questo è quello che ho fatto io:
Pongo X = "Tempo alla commutazione in secondi" e modellizzo X come variabile esponenziale con $\lambda = \frac{1}{3}$ quindi $f_X(t) = \lambda e^{-\lambda t}$
Mi trovo $P(X \leq 6) = 1 - e^{-\frac{1}{3}6} \approx 0.864$
Ora qua viene il mio dubbio, secondo me per risolvere l'esercizio pongo Z="Numero tentativi alla commutazione" e modellizzo la Z come una variabile geometrica di parametri $p = 0.864$ e $q = 0.136$ e siccome io voglio
$P(Z < 3) = P(Z=0) + P(Z=1) + P(Z=2)$ con $P(Z=k) = q^kp$
ho che $P(Z<3) = p + qp + q^2p \approx 0.997$
Ho ragionato così perché so che la commutazione avviene sicuro dopo 3 tentativi dall'esercizio, quindi la probabilità dovrebbe essere (sempre secondo me) la probabilità che la commutazione avvenga la prima volta (con 0 fallimenti) + la probabilità che la commutazione avvenga la seconda volta (1 fallimento) + la probabilità che la commutazione avvenga la terza ed ultima volta (2 fallimenti)
Giusto?
Ho questo quesito di probabilità di un vecchio appello dove ci sta un sistema di componenti e si fissa l'attenzione sul componente di riserva che si attiva non appena gli altri componenti non funzionano; il quesito dice:
Immaginando che la commutazione non avvenga istantaneamente ma prenda un tempo aleatorio, di media 3 sec., e che occorrano sicuramente tre tentativi per realizzarla con successo, calcolare la probabilità che la durata della commutazione sia inferiore a 6 sec.
Questo è quello che ho fatto io:
Pongo X = "Tempo alla commutazione in secondi" e modellizzo X come variabile esponenziale con $\lambda = \frac{1}{3}$ quindi $f_X(t) = \lambda e^{-\lambda t}$
Mi trovo $P(X \leq 6) = 1 - e^{-\frac{1}{3}6} \approx 0.864$
Ora qua viene il mio dubbio, secondo me per risolvere l'esercizio pongo Z="Numero tentativi alla commutazione" e modellizzo la Z come una variabile geometrica di parametri $p = 0.864$ e $q = 0.136$ e siccome io voglio
$P(Z < 3) = P(Z=0) + P(Z=1) + P(Z=2)$ con $P(Z=k) = q^kp$
ho che $P(Z<3) = p + qp + q^2p \approx 0.997$
Ho ragionato così perché so che la commutazione avviene sicuro dopo 3 tentativi dall'esercizio, quindi la probabilità dovrebbe essere (sempre secondo me) la probabilità che la commutazione avvenga la prima volta (con 0 fallimenti) + la probabilità che la commutazione avvenga la seconda volta (1 fallimento) + la probabilità che la commutazione avvenga la terza ed ultima volta (2 fallimenti)
Giusto?
Risposte
Non dovrebbe essere difficile probabilisticamente, ma bisogna modellizzarlo bene.
Ma non è che la commutazione è esponenziale, e per attivarlo fai tre commutazioni indipendenti e quindi
$X_1+X_2+X_3<6$?
Ma non è che la commutazione è esponenziale, e per attivarlo fai tre commutazioni indipendenti e quindi
$X_1+X_2+X_3<6$?
In effetti quello che dici tu non mi sembra neanche sbagliato visto che dovrebbe essere il tempo complessivo delle 3 commutazioni ad essere minore di 6 secondi però neanche la soluzione mia mi sembra sbagliata. 
Il tuo procidemento risponde a questa procedura:
Una volta che si blocca parte la commutazione; se questa ci mette più di 6 secondi, si resetta e ricomincia da capo in maniera indipendente, se questa ci mette più di 6 ricomincia...così via; te stai calcolando che in tre accensioni (massimo 3 quindi potrebbe anche essere che fa rapido alla prima) ce la fai.
Una volta che si blocca parte la commutazione; se questa ci mette più di 6 secondi, si resetta e ricomincia da capo in maniera indipendente, se questa ci mette più di 6 ricomincia...così via; te stai calcolando che in tre accensioni (massimo 3 quindi potrebbe anche essere che fa rapido alla prima) ce la fai.
Ah, ora ho capito!
Grazie di tutto.
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