Variabile distribuita uniformemente

[shadow881]

Buongiorno
ho il seguente problema
Sia X una v.a uniformemente distribuita su un intervallo $[-1,1]$. Determinare $P(|X|>1/2)$ e la densità di probabilità di $|X|$


Per la funzione di densità banalmente dalla teoria

$f(x)=1/(b-a) $1 $ (x)[-1,1]$
$f_|x| (x)=1/2 $1 $ (x)[0,1]$ (perchè c'è il valore assoluto)

per il primo punto ho pensato di applicare la def di cdf

$F_|X| (x)= P(|X|<=x)=P(-x
devo considerare $P(-x
Grazie a tutti

[Lo_zio_Tom]

Si quasi sotto gli occhi

Poniamo $Y=|X|$

Osserviamo che la CDF di X è $F_X(x)=(x+1)/2$ e per definizione,

$F_Y(y)=P(Y<=y)=P(-y<=X<=y)=F_X(y)-F_X(-y)=(y+1)/2-(-y+1)/2=y$

Dunque Y è uniforme in $[0;1]$ e, per la precisione,

$F_Y(y)=y\mathbb(1)_([0;1))(y)+\mathbb(1)_([1;+oo))(y)$

Questo perché la CDF è sempre definita su tutto l'asse reale.

Da cui subito

$P(Y>0.5)=1-F_Y(0.5)=0.5$

ed ovviamente, derivando la $F_Y(y)$

$f_Y(y)=\mathbb{1}_([0;1])(y)$

... a te viene 0.5 la densità di Y ma non può essere... non integra nemmeno ad uno su tutto il suo suppporto

[shadow881]

Grazie mille gentilissimo e molto chiaro. Una curiosità forse anche stupida. Se invece del valore assoluto m avesse chiesto semplicemente $P(X>1/2)$ il mio esercizio seguendo le proprietà della CDF sarebbe diventato:

$F_Y(y)=P(Y<=y)=$$lim_(t->y)(F(t))$ quindi $F_Y(y)=1/2 * 3/2 1[-1,1)+1[1,infty)$

[Lo_zio_Tom]

X è uniforme in $[-1;1]$ dunque senza fare conti $P(X>0.5)=0.5 xx 0.5=0.25$

La densità è un rettangolo con base 2 ed altezza 0.5

Ciò che hai scritto dopo è molto confuso...magari allenati un po' anche con la corretta sintassi matematica...ti consiglio di studiare un po' MathJax

[Lo_zio_Tom]

Cercando di interpretare ciò che hai scritto...

1) non si capisce cosa sia Y

2) la CDF della variabile...suppongo X è una funzione

$F_X(x)=(x+1)/2\mathbb(1)_([-1;1))(x)+\mathbb(1)_([\1;+oo))(x)$

3) la probabilità cercata è un numero

$P(X>0.5)=1-F_X(0.5)=1-3/4=1/4$

non puoi usare le funzioni indicatrici come ti pare...devi usarle quando servono altrimenti non si capisce nulla

[shadow881]

Ringrazio e diciamo che ci sono( ho utilizzato il limite precedentemente ma penso che quella proprietà vale sono nel discreto) . Stavo rivedendo un pò le slide del mio professore. Una cosa non riesco a capire magari puoi aiutarmi. Che differenza c'è nel calcolare $P(X>0.5)$, $P(X<0.5)$,$P(X=0.5)$ e vien da se $P(X>=0.5)$ ovviamente considerando i dati precedenti.

Molto probabilmente è una domanda sciocca ma voglio togliermi tutti i sassolini della scarpa per evitare figuracce in futuro

[Lo_zio_Tom]

sì, quel limite (opportunamente scritto) vale solo nel discreto, utilizzarlo nel continuo è un errore.

nel continuo hai che $P(X=x_0)=0, AAx_0$

Comunque scusa eh... la tua variabile X è uniforme in $[-1;1]$ cioè ha una densità che è un rettangolo. Calcolare

$P(|X|>0.5)$ significa calcolare l'area dove $|X|>0.5$ cioè l'area dei due rettangoli nelle code...che fa 0.5





cerca anche di pensare alla difficoltà del problema senza andare a prendere formule su formule per calcolare l'area di un rettangolo...

l'unico motivo per cui vale la pena di usare le formule è perché chiede anche la distribuzione di $Y=|X|$

(il disegno l'ho fatto in fretta, ovviamente i due rettangoli viola sono uguali)

[shadow881]

quindi per rispondere alla mia domanda

$P(X>0.5)$ significa calcolare l'area del rettangolo tutto a destra e

$P(X>=0.5)$ invece l area piu la probabilità nel punto 0.5?


comunque preferisco sicuramente non utilizzare formule quando si pùò quindi ti ringrazio

[Lo_zio_Tom]

forse mi sono spiegato male...oppure sei tu che non leggi ciò che scrivo

$P(X>k)=P(X>=k)$

dato che, per ogni valore di $k$, si ha che $P(X=k)=0$

[shadow881]

Perfetto...adesso ci sono...Buona serata