Variabile aleatoria uniforme e trasformazione
Salve ragazzi! Eccomi alle prese con un nuovo esercizio che coinvolge variabili casuali e trasformazione. Il testo è il seguente. "Sia data una variabile aleatoria uniforme definita in [-2,6]. Sia inoltre Y una variabile aleatoria ottenuta da X per trasformazione tramite legge \(\displaystyle g(x) \) definita come segue:
\(\displaystyle g(x) = \)$ { ( 1 if |x|< 1 ),( |x| if 1<=|x|<3 ),( 0 if |x| >=3 ):} $
1. Calcolare valor medio e varianza di X;
2. Calcolare valor medio e varianza di Y;
3. Valutare e disegnare la pdf della Y;
4. Calcolare P(Y>X).
1. Con una siffatta v.a. uniforme, il punto medio \(\displaystyle m = 2 \) e la varianza \(\displaystyle s^2 = 16/3 \) e fin qui non ci piove.
2. Il punto 2, che non ho ancora realizzato, prevede il calcolo del valor medio e della varianza della Y. Io conosco un teorema, da me noto come "Teorema del valor medio", secondo il quale il valor medio di una v.a. Y é uguale all'integrale della g(x) * pdf della v.a. X definito da meno infinito a più infinito. Confermate?
3. Mi sono fiondato sul punto 3 per provare a realizzare la trasformazione. E' facile ottenere i seguenti risultati:
$ F_X(x) = { ( 0 if x < -2 ),( (x+2)/8 if -2<=x<=6 ),( 1 if x > 6 ):} $ e
$ f_X(x) = {( 1/8 if -2<=x<=6 ),( 0 if otherwise ):} $
Veniamo al sodo. Il grafico per la g(x) che ho tracciato è il seguente, sperando di non aver preso abbagli:
Come il buon @tommik insegna, la x è orizzontale tre volte quindi la Y avrà 3 impulsi per \(\displaystyle x<-3 V x>3 \) e per \(\displaystyle -1<=x<=1 \) ovvero rispettivamente per \(\displaystyle Y = 0 \) e \(\displaystyle Y = 1 \). Ho trovato i due impulsi,indicati rispettivamente con \(\displaystyle K_0 \) e \(\displaystyle K_1 \):
\(\displaystyle K_0 = P(Y = 0) = P(x<-3 V x>3) = 39/16 \) mentre \(\displaystyle K_1 = 0.5 \). Continuo con il resto dopo pranzo. Fin qui il ragionamento fila?
\(\displaystyle g(x) = \)$ { ( 1 if |x|< 1 ),( |x| if 1<=|x|<3 ),( 0 if |x| >=3 ):} $
1. Calcolare valor medio e varianza di X;
2. Calcolare valor medio e varianza di Y;
3. Valutare e disegnare la pdf della Y;
4. Calcolare P(Y>X).
1. Con una siffatta v.a. uniforme, il punto medio \(\displaystyle m = 2 \) e la varianza \(\displaystyle s^2 = 16/3 \) e fin qui non ci piove.
2. Il punto 2, che non ho ancora realizzato, prevede il calcolo del valor medio e della varianza della Y. Io conosco un teorema, da me noto come "Teorema del valor medio", secondo il quale il valor medio di una v.a. Y é uguale all'integrale della g(x) * pdf della v.a. X definito da meno infinito a più infinito. Confermate?
3. Mi sono fiondato sul punto 3 per provare a realizzare la trasformazione. E' facile ottenere i seguenti risultati:
$ F_X(x) = { ( 0 if x < -2 ),( (x+2)/8 if -2<=x<=6 ),( 1 if x > 6 ):} $ e
$ f_X(x) = {( 1/8 if -2<=x<=6 ),( 0 if otherwise ):} $
Veniamo al sodo. Il grafico per la g(x) che ho tracciato è il seguente, sperando di non aver preso abbagli:
Come il buon @tommik insegna, la x è orizzontale tre volte quindi la Y avrà 3 impulsi per \(\displaystyle x<-3 V x>3 \) e per \(\displaystyle -1<=x<=1 \) ovvero rispettivamente per \(\displaystyle Y = 0 \) e \(\displaystyle Y = 1 \). Ho trovato i due impulsi,indicati rispettivamente con \(\displaystyle K_0 \) e \(\displaystyle K_1 \):
\(\displaystyle K_0 = P(Y = 0) = P(x<-3 V x>3) = 39/16 \) mentre \(\displaystyle K_1 = 0.5 \). Continuo con il resto dopo pranzo. Fin qui il ragionamento fila?
Risposte
ci sono già parecchi errori.....
iniziamo dai due impulsi...
la $y=0$ quando la $|X|>3$ quindi nell'intervallo $[3;6]$ cioè in un rettangolo di base 3 ed altezza $1/8 rarr p=3/8$. Infatti la X non può essere minore di $-2$
Stesso discorso per l'altro impulso; $y=1$ quando $|x|<1 rarr p=2/8$
se fin qui è chiaro proseguo con il resto perché si complica un pochino il resto.....nulla di difficile, sia chiaro
Ps: per calcolare media e varianza di Y, dato che devi già calcolarne la PDF lo puoi fare dopo, con la sua bella densità
iniziamo dai due impulsi...
la $y=0$ quando la $|X|>3$ quindi nell'intervallo $[3;6]$ cioè in un rettangolo di base 3 ed altezza $1/8 rarr p=3/8$. Infatti la X non può essere minore di $-2$
Stesso discorso per l'altro impulso; $y=1$ quando $|x|<1 rarr p=2/8$
se fin qui è chiaro proseguo con il resto perché si complica un pochino il resto.....nulla di difficile, sia chiaro
Ps: per calcolare media e varianza di Y, dato che devi già calcolarne la PDF lo puoi fare dopo, con la sua bella densità
per \(\displaystyle y = 0 \) ho calcolato l'integrale di \(\displaystyle (x+2)/8 \) definito da 3 a 6. Similmente per il secondo impulso. Non è corretto? Dal momento che la \(\displaystyle F_X(x) = P(X<=x) \) avevo pensato di calcolare l'integrale da 3 a 6 del valore assunto dalla \(\displaystyle F_X(x) \) con \(\displaystyle x< -3 V x>3 \). \(\displaystyle P(X<-3) = 0 \) in quanto la funzione assume valore 0 se x < -2. La probabilità che \(\displaystyle x > 3 \) ricade nell'intervallo -2
a conti fatti la tua densità ti deve venire così
$f_Y(y)={{: ( 3/8 , ;y=0 ),( 2/8 , ;y=1 ),( 2/8 , ;1<=y<2),( 1/8 , ;2<=y<=3 ),( 0 , ; "altrove" ) :}$
con il seguente grafico
come vedi la probabilità totale è uno, considerando le probabilità dei due impulsi più le probabilità (integrate) dei restanti intervalli
$3/8+2/8+2/8+1/8=1$
Forse voi in teoria dei segnali siete abituati a scrivere la densità con i delta di dirac, ma è la stessa cosa, limportante è intendersi.
Come sono arrivato a tale densità?
Disegni il grafico della funzione di trasformazione e ti accorgi che nell'immagine dove $y in (1;2) $ hai due rami per la funzione $|X|$ e quindi la CDF in tale intervallo viene
$F_Y(y)=F_X(y)-F_X(1)+F_X(-1)-F_X(-y)=(y+2)/8-3/8+1/8-(-y+2)/8=(2y-2)/8$
derivi rispetto ad y e trovi la densità: $f(y)=2/8$
nell'intervallo $y in (2;3)$ la cosa è più semplice perché hai un unico ramo di $|x|$
@MrEngineer, sei alle prime armi e mi sembra controproducente buttarsi su esercizi così....fanne un po' già risolti sul forum, davvero ne trovi centinaia.....io (avendo lavorato tutto agosto) sto partendo per le vacanze e sarà difficile che riuscirò a rispondere a quesiti così dal cellulare.....
ad ogni modo buon lavoro
$f_Y(y)={{: ( 3/8 , ;y=0 ),( 2/8 , ;y=1 ),( 2/8 , ;1<=y<2),( 1/8 , ;2<=y<=3 ),( 0 , ; "altrove" ) :}$
con il seguente grafico
come vedi la probabilità totale è uno, considerando le probabilità dei due impulsi più le probabilità (integrate) dei restanti intervalli
$3/8+2/8+2/8+1/8=1$
Forse voi in teoria dei segnali siete abituati a scrivere la densità con i delta di dirac, ma è la stessa cosa, limportante è intendersi.
Come sono arrivato a tale densità?
Disegni il grafico della funzione di trasformazione e ti accorgi che nell'immagine dove $y in (1;2) $ hai due rami per la funzione $|X|$ e quindi la CDF in tale intervallo viene
$F_Y(y)=F_X(y)-F_X(1)+F_X(-1)-F_X(-y)=(y+2)/8-3/8+1/8-(-y+2)/8=(2y-2)/8$
derivi rispetto ad y e trovi la densità: $f(y)=2/8$
nell'intervallo $y in (2;3)$ la cosa è più semplice perché hai un unico ramo di $|x|$
@MrEngineer, sei alle prime armi e mi sembra controproducente buttarsi su esercizi così....fanne un po' già risolti sul forum, davvero ne trovi centinaia.....io (avendo lavorato tutto agosto) sto partendo per le vacanze e sarà difficile che riuscirò a rispondere a quesiti così dal cellulare.....
ad ogni modo buon lavoro
Brutta cosa la stupidità. A voler fare l'integrale, è appunto, per definizione l'integrale della densità. Perdona la sbadataggine. La prima parte mi risulta,adesso.
EDIT:
Ti ringrazio per la risposta precisa e accurata, rileggerò con attenzione tutto il resto dello svolgimento. Sempre un grande.
Sono alle prime armi, ho iniziato ad approcciarmi alla materia da poco e le variabili aleatorie con tutto il resto che ne consegue sono per me una grande novità. Grazie mille per la pazienza
EDIT:
Ti ringrazio per la risposta precisa e accurata, rileggerò con attenzione tutto il resto dello svolgimento. Sempre un grande.
Sono alle prime armi, ho iniziato ad approcciarmi alla materia da poco e le variabili aleatorie con tutto il resto che ne consegue sono per me una grande novità. Grazie mille per la pazienza
Pensa a me, ansioso per natura, con 2 ore di tempo per risolvere esercizi di questo tipo ( manca ancora parecchio lavoro da fare,devo affrontare argomenti come segnali aleatori e segnali deterministici più campionamento e altra roba 
). La vedo dura, mi conosco.
). La vedo dura, mi conosco.
Per calcolare la densità della variabile trasformata, la prima cosa da fare è disegnare il grafico della funzione di trasformazione
Per calcolare $f(y)$, come sempre, calcoliamo $F(y)=P(Y<=y)$ e poi ne facciamo la derivata.
vedi subito che devi spezzare l'intervallo in due, in quanto, se $12$ ne hai uno solo, e ciò in quanto il testo è un po' stronXX e ti dà una uniforme con un dominio non simmetrico all'origine.
Ora vedi che succede per calcolare $P(Y
Quindi, per definizione avrai che
$F_Y(y)=F_X(y)-F_X(1)+F_X(-1)-F_X(-y)$
sostituisci, dato che $F_X(x)$ la hai già calcolata, derivi ed hai finito.
L'altro intervallo è facilissimo, non ti dovrebbe creare problemi.
una volta nota la PDF o CDF come vuoi, calcoli tutti i parametri che ti chiedono, media, varianza, mediana ecc ecc
PS: è un po' che non ne capitano di questi....comincio ad essere arrugginito.....
Per calcolare $f(y)$, come sempre, calcoliamo $F(y)=P(Y<=y)$ e poi ne facciamo la derivata.
vedi subito che devi spezzare l'intervallo in due, in quanto, se $1
Ora vedi che succede per calcolare $P(Y
Quindi, per definizione avrai che
$F_Y(y)=F_X(y)-F_X(1)+F_X(-1)-F_X(-y)$
sostituisci, dato che $F_X(x)$ la hai già calcolata, derivi ed hai finito.
L'altro intervallo è facilissimo, non ti dovrebbe creare problemi.
una volta nota la PDF o CDF come vuoi, calcoli tutti i parametri che ti chiedono, media, varianza, mediana ecc ecc
PS: è un po' che non ne capitano di questi....comincio ad essere arrugginito.....
Fino al calcolo della \(\displaystyle f_y \) tra 1 e 2 ci sono, è risultato \(\displaystyle 2/8 \) anche a me. Quello che mi sfugge è questo ulteriore intervallo della Y per cui \(\displaystyle 2
Accetterò il tuo consiglio e mi metterò a cercare!
grazie per il link Tommik.. butterò un occhio.
Conoscete quella storia secondo la quale un ingegnere non dorme mai? Stanotte ho rimuginato parecchio e sono arrivato a delle conclusioni. Il grafico di trasformazione che avevo inizialmente tracciato non era corretto, avendo considerato anche intervalli per cui la X in ascissa non era definita in [-2,6]. Rielaborando il tutto, ho ritrovato lo stesso grafico di Tommik.
Veniamo al dunque, ho rielaborato tutti i vari conti traendo le seguenti conclusioni.
Come già detto, la \(\displaystyle g(X) \) è orizzontale in tre intervalli, per cui la \(\displaystyle Y \) avrà due impulsi di Dirac per \(\displaystyle Y = 0 \) e \(\displaystyle Y = 1 \), detti rispettivamente \(\displaystyle K_0 \) e \(\displaystyle K_1 \).
\(\displaystyle K_0 \) vale, come già detto, \(\displaystyle 3/8 \) per \(\displaystyle X > 3 \), essendo la funzione pari a zero se \(\displaystyle X < -2 \).
\(\displaystyle K_1 \) vale invece \(\displaystyle 2/8 \) quando \(\displaystyle -1
Restano gli intervalli \(\displaystyle -2
$f_Y(y)={{: ( 3/8 , ;y=0 ),( 2/8 , ;y=1 ),( 2/8 , ;1<=y<2),( 1/8 , ;2<=y<=3 ),( 0 , ; "altrove" ) :}$
che sono gli stessi risultati indicati da Tommik. Quella ottenuta è ovviamente una pdf mista. Dite che il ragionamento, stavolta, può andare?
Conoscete quella storia secondo la quale un ingegnere non dorme mai? Stanotte ho rimuginato parecchio e sono arrivato a delle conclusioni. Il grafico di trasformazione che avevo inizialmente tracciato non era corretto, avendo considerato anche intervalli per cui la X in ascissa non era definita in [-2,6]. Rielaborando il tutto, ho ritrovato lo stesso grafico di Tommik.
Veniamo al dunque, ho rielaborato tutti i vari conti traendo le seguenti conclusioni.
Come già detto, la \(\displaystyle g(X) \) è orizzontale in tre intervalli, per cui la \(\displaystyle Y \) avrà due impulsi di Dirac per \(\displaystyle Y = 0 \) e \(\displaystyle Y = 1 \), detti rispettivamente \(\displaystyle K_0 \) e \(\displaystyle K_1 \).
\(\displaystyle K_0 \) vale, come già detto, \(\displaystyle 3/8 \) per \(\displaystyle X > 3 \), essendo la funzione pari a zero se \(\displaystyle X < -2 \).
\(\displaystyle K_1 \) vale invece \(\displaystyle 2/8 \) quando \(\displaystyle -1
Restano gli intervalli \(\displaystyle -2
$f_Y(y)={{: ( 3/8 , ;y=0 ),( 2/8 , ;y=1 ),( 2/8 , ;1<=y<2),( 1/8 , ;2<=y<=3 ),( 0 , ; "altrove" ) :}$
che sono gli stessi risultati indicati da Tommik. Quella ottenuta è ovviamente una pdf mista. Dite che il ragionamento, stavolta, può andare?
E' la stessa cosa. Non ho introdotto il teorema sulla trasformazione nota perché preferivo che ci ragionassi sopra...ad ogni modo ok.
consiglio anche a te, come ho già fatto con @cooper, questi due esercizi appena postati da utenti non molto interessati ad imparare
questo
e questo
...così magari movimentate un po' il forum (anche perché io nelle prossime due settimane non sarò molto presente qui)
consiglio anche a te, come ho già fatto con @cooper, questi due esercizi appena postati da utenti non molto interessati ad imparare
questo
e questo
...così magari movimentate un po' il forum (anche perché io nelle prossime due settimane non sarò molto presente qui)
grazie!
Posso chiederti i due ultimi punti del quesito? In questo caso il valor medio come andrebbe calcolato? Al di là del cosiddetto teorema del "valor medio" di cui parlai all'inizio della discussione. E infine, all'ultimo punto, che si intende per calcolo della probabilità tale che \(\displaystyle Y > X \) ?
Posso chiederti i due ultimi punti del quesito? In questo caso il valor medio come andrebbe calcolato? Al di là del cosiddetto teorema del "valor medio" di cui parlai all'inizio della discussione. E infine, all'ultimo punto, che si intende per calcolo della probabilità tale che \(\displaystyle Y > X \) ?
per la media di Y non mi pare ci siano problemi....hai la PDF, usa quella. Inoltre sai che la variabile arriva al massimo ad uno con probabilità $5/8$....quindi la media sarà appena appena minore di uno.
$E(Y)=2/8+int_(1)^(2)2/8ydy+int_(2)^(3)y/8dy=15/16$
$E(Y)=2/8+int_(1)^(2)2/8ydy+int_(2)^(3)y/8dy=15/16$
"tommik":
$E(Y)=2/8+int_(1)^(2)2/8ydy+int_(2)^(3)y/8dy=15/16$
\(\displaystyle 2/8 \) corrisponde all'impulso per \(\displaystyle Y = 1 \), giusto? Ma l'impulso nell'origine non va considerato?
dai (BEEEP).....certo che va considerato.....devi moltiplicare zero per la sua probabilità....quindi [size=200]ZERO[/size]
D'oh è vero, chiedo venia.
Ho fatto anche la controprova con il teorema del valor medio, confermo (ma non c'erano dubbi) il valore \(\displaystyle 15/16 \). L'ho fatto più che altro per essere aperto ad ogni possibilità
Ho fatto anche la controprova con il teorema del valor medio, confermo (ma non c'erano dubbi) il valore \(\displaystyle 15/16 \). L'ho fatto più che altro per essere aperto ad ogni possibilità
Per quanto riguarda il calcolo di $P(Y>X)$, maggiore strettamente,
basta guardare il grafico della funzione di trasformazione per rendersi conto che
$P(Y>X) harr P(X<1)=3/8$
è chiaro il perché?
basta guardare il grafico della funzione di trasformazione per rendersi conto che
$P(Y>X) harr P(X<1)=3/8$
è chiaro il perché?
Suppongo di sì. Guardando il grafico, nell'intervallo \(\displaystyle 1X \). E' così? Ovviamente, avendo la \(\displaystyle F_X(x) \), la \(\displaystyle P(X<1) = P(F_X(x)<1) = F(1) = 3/8 \). Ho azzeccato?
anche senza usare la $F_X(x)$....la densità di X è un rettangolo.....$"base "xx" altezza"=3/8$
Grande! Finalmente ti lascio al meritato riposo. A presto ( sicuramente )
ti lascio al meritato riposo. A presto ( sicuramente )
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