Variabile aleatoria gaussiana

[bord89]

Si vuole misurare la tensione in uscita da un circuito digitale mediante un voltmetro di precisione finita. Il risultato della misura è una variabile aleatoria $X$ esprimibile nella forma $X=V+n$, dove $V$ è il valore della tensione in uscita dal circuito digitale mentre $n$ è l’errore di misura, modellato come una variabile aleatoria Gaussiana a media nulla e con varianza $\sigma^2_n=1/2$ . La tensione $V$ può assumere soltanto i valori +1 volt o +5 volt, corrispondenti ai livelli logici 0 e 1, ciascuno con probabilità 1/2 .

per determinare valor medio e varianza di $X$ ho proceduto in questo modo:

$E{X}=E{V+n}=E{V}=1/2+1/2*5=3$

la varianza di $V$ vale $\sigma^2_V= sum_i(v_i-\eta_v)^2*p_i=(1-3)^2*1/2+(5-3)^2*1/2=4$ , quindi
$var(X)=var(V+n)=var(V)+var(n)=4+1/2=9/2$

poi mi chiede di determinare la probabilità che $X$ assuma un valore minore di 4 volt:

$Pr{X<4}=Pr{V+n<4}=Pr{n<3}+Pr{n<-1}=\Phi(3)+\Phi(-1)=1+\Phi(3)-Phi(1)$

sono giusti i miei ragionamenti fin qui?

[retrocomputer]

"bord89":
$var(X)=var(V+n)=var(V)+var(n)=4+1/2=9/2$

Questo lo puoi fare se V e n sono incorrelate: lo sono?

$Pr{X<4}=Pr{V+n<4}=Pr{n<3}+Pr{n<-1}=\Phi(3)+\Phi(-1)=1+\Phi(3)-Phi(1)$

Forse manca un fattore $1/2$?
Anche perché altrimenti viene una probabilità maggiore di 1...

[bord89]

"retrocomputer":[quote="bord89"]
$var(X)=var(V+n)=var(V)+var(n)=4+1/2=9/2$

Questo lo puoi fare se V e n sono incorrelate: lo sono?[/quote]

per sapere se le due variabili aleatorie sono incorrelate mi basta che siano indipendenti, ma non penso di poterlo stabilire a priori. quindi vado a calcolare la covarianza per vedere se viene uguale a 0:
$c_(Vn)=r_(Vn)-\eta_V*\eta_n=r_(Vn)$
dunque la correlazione si dovrebbe calcolare nel seguente modo:
$r_(Vn)=E{Vn}=1/2int_(-oo)^(+oo)f_n(t)dt+1/2int_(-oo)^(+oo)5*f_n(t)dt$ che pare proprio essere diversa da 0.
secondo questi conti, quindi, le due variabili aleatorie non sono incorrelate.
prima di ricalcolarmi la varianza vorrei sapere se il ragionamento è corretto

"retrocomputer":[quote="bord89"]
$Pr{X<4}=Pr{V+n<4}=Pr{n<3}+Pr{n<-1}=\Phi(3)+\Phi(-1)=1+\Phi(3)-Phi(1)$

Forse manca un fattore $1/2$?
Anche perché altrimenti viene una probabilità maggiore di 1...[/quote]

si in effetti manca proprio quel fattore: $Pr{X<4}=1/2\Phi(3)+1/2\Phi(-1)$