Variabile aleatoria esponenziale - Esercizio
Buongiorno a tutti,
ho un esercizio da proporre sulla variabile aleatoria esponenziale. Vi indico qui di seguito il testo:
Per un LED, il tempo dopo il quale l'intensità luminosa scende ad un valore pari al 70% di quello iniziale è mediamente 50000 ore, ipotizzando che tale tempo sia distribuito esponenzialmente.
Se dalla produzione si scelgono 100 led, valutare la probabilità che 99 di questi mantengano una luminosità superiore o pari al 70% del valore iniziale per più di 50000 ore.
Sia $ F_T(t)=1-e^-(\lamdat) $
ove $ \lambda=1/\mu=1/50000 $
Io ho pensato di valutare la seguente probabilità
$ (Pr{1LED, T>=50000})^99 *Pr{1LED, T<=50000}= [1-Pr{T<=50000}]^99 * Pr{T<=50000} =
=(1-(1-e^-(\lambda*50000))^99 *(1-e^-(\lambda*50000)) = 6.44*10^-44 $
La mia domanda è se in questo modo tengo conto o meno dell'assenza di memoria della variabile aleatoria esponenziale.
Ringrazio in anticipo
ho un esercizio da proporre sulla variabile aleatoria esponenziale. Vi indico qui di seguito il testo:
Per un LED, il tempo dopo il quale l'intensità luminosa scende ad un valore pari al 70% di quello iniziale è mediamente 50000 ore, ipotizzando che tale tempo sia distribuito esponenzialmente.
Se dalla produzione si scelgono 100 led, valutare la probabilità che 99 di questi mantengano una luminosità superiore o pari al 70% del valore iniziale per più di 50000 ore.
Sia $ F_T(t)=1-e^-(\lamdat) $
ove $ \lambda=1/\mu=1/50000 $
Io ho pensato di valutare la seguente probabilità
$ (Pr{1LED, T>=50000})^99 *Pr{1LED, T<=50000}= [1-Pr{T<=50000}]^99 * Pr{T<=50000} =
=(1-(1-e^-(\lambda*50000))^99 *(1-e^-(\lambda*50000)) = 6.44*10^-44 $
La mia domanda è se in questo modo tengo conto o meno dell'assenza di memoria della variabile aleatoria esponenziale.
Ringrazio in anticipo
Risposte
Concordo con te sulla distribuzione....il fatto che il led scenda sotto il 70% di luminosità è come dire che il led si rompa....
Quindi la distribuzione è
[size=150]$F_(T)(t)=1-e^(-1/(50000) t)$[/size]
E quindi la probabilità richiesta è $P(T>50000)=e^(-1)$ per ogni led. Ora, per rispondere al quesito, ti basta usare la binomiale
$((100),(99))e^(-99)(1-e^(-1))~~0$
In pratica hai fatto tutto correttamente ma hai solo dimenticato il coefficiente binomiale (ininfluente ai fini del risultato) ma che indica che il led rotto si può trovare in qualunque posizione fra i 100 campionati.
Prova a rifarlo con un campione di 3 led e noterai la differenza nel risultato
Quindi la distribuzione è
[size=150]$F_(T)(t)=1-e^(-1/(50000) t)$[/size]
E quindi la probabilità richiesta è $P(T>50000)=e^(-1)$ per ogni led. Ora, per rispondere al quesito, ti basta usare la binomiale
$((100),(99))e^(-99)(1-e^(-1))~~0$
In pratica hai fatto tutto correttamente ma hai solo dimenticato il coefficiente binomiale (ininfluente ai fini del risultato) ma che indica che il led rotto si può trovare in qualunque posizione fra i 100 campionati.
Prova a rifarlo con un campione di 3 led e noterai la differenza nel risultato
Ti ringrazio per la risposta,
direi che la soluzione è quella corretta.
Un'altra cosa, poichè si tratta di un esame di reti di telecomunicazioni,
e ci è stata fatta molta teoria sui processi stocastici Poissoniani,
è possibile vedere e modellare l'esercizio in questione come uno di questi?
Cioè vedere la probabilità di rottura di un solo LED (senza considerare che siano 100 complessivi) in 50000 ore ed utilizzare la formula
$ P_k(t)=(\lambdat)^k/(k!)*e^-(\lambdat) $
Lo chiedo perché nello specifico nel corso di reti non abbiamo trattato la binomiale (ovviamente già vista in altri corsi di base).
direi che la soluzione è quella corretta.
Un'altra cosa, poichè si tratta di un esame di reti di telecomunicazioni,
e ci è stata fatta molta teoria sui processi stocastici Poissoniani,
è possibile vedere e modellare l'esercizio in questione come uno di questi?
Cioè vedere la probabilità di rottura di un solo LED (senza considerare che siano 100 complessivi) in 50000 ore ed utilizzare la formula
$ P_k(t)=(\lambdat)^k/(k!)*e^-(\lambdat) $
Lo chiedo perché nello specifico nel corso di reti non abbiamo trattato la binomiale (ovviamente già vista in altri corsi di base).
Il processo di Poisson è strettamente legato al modello Gamma dato che gli intertempi di arrivo si distribuiscono con densità esponenziale ed in modo indipendente.
Però se devi calcolare la probabilità di $ k$ successi su $n$ tentativi indipendenti la procedura più corretta è l'uso di una binomiale. Non è escluso che si possa arrivare al medesimo risultato con l'utilizzo di una Poisson, visto il legame fra le due distribuzioni (la Poisson è la distribuzione limite della binomiale[nota]vedi qui[/nota]) come pure non è escluso di poter calcolare tale probabilità con una gaussiana.
Per l'esempio in oggetto direi che il problema non si pone perché calcolare la probabilità di 99 successi su 100 tentativi...a meno che $p$ non sia altissima troverai sempre zero.
Ricorda che la probabilità in fin dei conti è una % e quindi $p<10^(-4)~~0$
Però se devi calcolare la probabilità di $ k$ successi su $n$ tentativi indipendenti la procedura più corretta è l'uso di una binomiale. Non è escluso che si possa arrivare al medesimo risultato con l'utilizzo di una Poisson, visto il legame fra le due distribuzioni (la Poisson è la distribuzione limite della binomiale[nota]vedi qui[/nota]) come pure non è escluso di poter calcolare tale probabilità con una gaussiana.
Per l'esempio in oggetto direi che il problema non si pone perché calcolare la probabilità di 99 successi su 100 tentativi...a meno che $p$ non sia altissima troverai sempre zero.
Ricorda che la probabilità in fin dei conti è una % e quindi $p<10^(-4)~~0$
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