Variabile aleatoria Discreta e distribuzione
ragazzi non riesco a venire a capo di questo problema.. mi manca proprio qualcosa nel mio ragionamento.... vi posto il testo dell'es
Cinque numeri distinti vengono assegnati a
caso ai cinque giocatori A,B,C,D,E. Quando due giocatori confrontano i propri numeri, vince
chi ha il numero più grande. Inizialmente, i giocatori A e B confrontano i propri numeri; il vincitore
allora confronta il suo numero con il giocatore C, e così via. Denotiamo con X il numero di volte
che il giocatore A vince. Determinate la densità di X.
[risp: X assume valori in {0, 1, 2, 3, 4} e pX(0) = 1/2, pX(1) = 1/6, pX(2) = 1/12, pX(3) = 1/20, pX(4) = 1/5]
allora io ho assunto che la variabile aleatoria significhi quante volte vince dopo ogni confronto ?
in pratica A puo' vincere 0, 1, 2, 3, 4 volte ( come riportato in soluzione ).
io ho interpretato ogni evento di confronto indipendente dall' altro.
tuttavia non riesco ad arrivare ai risultati... per esempio:
$ Px(0) = $ probabilità che perda subito contro B. Vale a dire che il numero di B è sicuramente maggiore di A. ma non riesco a capire da dove derivi il risultato.. e di conseguenza nemmeno gli altri... qualcuno saprebbe aiutarmi ?
ps
ho provato a pensare ogni confronto come una prova di bernoulli ma ovviamente i risultati non sono corretti..
Cinque numeri distinti vengono assegnati a
caso ai cinque giocatori A,B,C,D,E. Quando due giocatori confrontano i propri numeri, vince
chi ha il numero più grande. Inizialmente, i giocatori A e B confrontano i propri numeri; il vincitore
allora confronta il suo numero con il giocatore C, e così via. Denotiamo con X il numero di volte
che il giocatore A vince. Determinate la densità di X.
[risp: X assume valori in {0, 1, 2, 3, 4} e pX(0) = 1/2, pX(1) = 1/6, pX(2) = 1/12, pX(3) = 1/20, pX(4) = 1/5]
allora io ho assunto che la variabile aleatoria significhi quante volte vince dopo ogni confronto ?
in pratica A puo' vincere 0, 1, 2, 3, 4 volte ( come riportato in soluzione ).
io ho interpretato ogni evento di confronto indipendente dall' altro.
tuttavia non riesco ad arrivare ai risultati... per esempio:
$ Px(0) = $ probabilità che perda subito contro B. Vale a dire che il numero di B è sicuramente maggiore di A. ma non riesco a capire da dove derivi il risultato.. e di conseguenza nemmeno gli altri... qualcuno saprebbe aiutarmi ?
ps
ho provato a pensare ogni confronto come una prova di bernoulli ma ovviamente i risultati non sono corretti..
Risposte
Scusa guardala da un altro punto di vista in quanti modi possono essere distribuiti i numeri da 1 a 5 in ordine da a A a E.
$Px(0) = 1/5$ , $Px(4) = 1/5$ queste due sono facili da calcolare.
Non mi intendo di queste cose e potrei aver capito male il tuo problema.
In pratica devi trovare che probabilita ha A di vincere 0,1,2,3,4 volte ?
$Px(0) = 1/5$ , $Px(4) = 1/5$ queste due sono facili da calcolare.
Non mi intendo di queste cose e potrei aver capito male il tuo problema.
In pratica devi trovare che probabilita ha A di vincere 0,1,2,3,4 volte ?
"krek":
Scusa guardala da un altro punto di vista in quanti modi possono essere distribuiti i numeri da 1 a 5 in ordine da a A a E.
$PX(0) = 1/5$ , $PX(4) = 1/5$ queste due sono facili da calcolare.
Non mi intendo di queste cose e potrei aver capito male il tuo problema.
In pratica devi trovare che probabilita ha A di vincere 0,1,2,3,4 ?
purtroppo la $Px(0) = 1/5 $ che hai trovato è errata... ( le risposte riportano 1/2 )
si il punto è che dai valori alla variabile aleatoria che vanno da 0 a 4. IO l'ho intesa cm:
la probabilità di vincere zero volte ( ovvero il confronto con B fallisce )
la probabilità di vincere una volta ( ovvero vinci con B ma perdi con C )
eccetera...
Io partirei dalle permutazioni di 5 elementi $5! = 120$
1) Quante volte il primo elemento è inferiore al secondo ? (n=1)
$(k!)/(n(n+1)) = 120/2 = 60
delle restanti permutazioni
2) Quante volte il secondo elemento è inferiore al terzo ? (n=2)
$(k!)/(n(n+1)) = 120/6 = 20
3) ...... $(k!)/(3*4) = 10
4) ...... $(k!)/(4*5) = 6
5) (n=5) Per n=k --> $(n-1)! = 24$
Quindi:
$Px(0) = 60/120$ $Px(1) = 20/120$ $Px(2) = 10/120$ $Px(3) = 6/120$ $Px(4) = 24/120$
1) Quante volte il primo elemento è inferiore al secondo ? (n=1)
$(k!)/(n(n+1)) = 120/2 = 60
delle restanti permutazioni
2) Quante volte il secondo elemento è inferiore al terzo ? (n=2)
$(k!)/(n(n+1)) = 120/6 = 20
3) ...... $(k!)/(3*4) = 10
4) ...... $(k!)/(4*5) = 6
5) (n=5) Per n=k --> $(n-1)! = 24$
Quindi:
$Px(0) = 60/120$ $Px(1) = 20/120$ $Px(2) = 10/120$ $Px(3) = 6/120$ $Px(4) = 24/120$
"Umby":
Io partirei dalle permutazioni di 5 elementi $5! = 120$
1) Quante volte il primo elemento è inferiore al secondo ? (n=1)
$(k!)/(n(n+1)) = 120/2 = 60
delle restanti permutazioni
2) Quante volte il secondo elemento è inferiore al terzo ? (n=2)
$(k!)/(n(n+1)) = 120/6 = 20
Premesso che la formula fornisce il risultato corretto, è molto semplice ed elegante e mi ha fatto ricordare la serie di Mengoli..
Potresti spiegare meglio come l'hai dedotta?
Cioè, dei $k!$ casi possibili, perchè $(k!)/(n(n+1))$ rappresentano quelli favorevoli (per ogni $n$) ?
Grazie
"cenzo":
[quote="Umby"]Io partirei dalle permutazioni di 5 elementi $5! = 120$
1) Quante volte il primo elemento è inferiore al secondo ? (n=1)
$(k!)/(n(n+1)) = 120/2 = 60
delle restanti permutazioni
2) Quante volte il secondo elemento è inferiore al terzo ? (n=2)
$(k!)/(n(n+1)) = 120/6 = 20
Premesso che la formula fornisce il risultato corretto, è molto semplice ed elegante e mi ha fatto ricordare la serie di Mengoli..
Potresti spiegare meglio come l'hai dedotta?
Cioè, dei $k!$ casi possibili, perchè $(k!)/(n(n+1))$ rappresentano quelli favorevoli (per ogni $n$) ?
Grazie
[/quote]Cenzo mi ha anticipato vorrei capire bene anche io come l'hai dedotta
volevo inoltre fare un altra osservazione...
se avessi avuto un giocatore in più, come sarebbe cambiato ? perchè in questo caso non varrebbe più la formula... ( credo ) perchè per come è strutturata la formula i risultati escono sempre gli stessi, di fatto nella probabilità $k!$ non entra in gioco... ma allora se ho un elemento in più, se sommo tutte le densità che ottengo... non ottengo 1, il ceh è assurdo...
probabilmente sono io che non ho capito bene.... qualcuno puo' spiegarmi meglio ?
se avessi avuto un giocatore in più, come sarebbe cambiato ? perchè in questo caso non varrebbe più la formula... ( credo ) perchè per come è strutturata la formula i risultati escono sempre gli stessi, di fatto nella probabilità $k!$ non entra in gioco... ma allora se ho un elemento in più, se sommo tutte le densità che ottengo... non ottengo 1, il ceh è assurdo...
probabilmente sono io che non ho capito bene.... qualcuno puo' spiegarmi meglio ?
"Clod":
volevo inoltre fare un altra osservazione...
se avessi avuto un giocatore in più, come sarebbe cambiato ? perchè in questo caso non varrebbe più la formula... ( credo ) perchè per come è strutturata la formula i risultati escono sempre gli stessi, di fatto nella probabilità $k!$ non entra in gioco... ma allora se ho un elemento in più, se sommo tutte le densità che ottengo... non ottengo 1, il ceh è assurdo...
probabilmente sono io che non ho capito bene.... qualcuno puo' spiegarmi meglio ?
Qui ti posso rispondere anch'io. La formula è sempre valida.
Con $k=6$ giocatori avresti $6!$ permutazioni. Cambiano solo P(4) e P(5).
Infatti verrebbe $P(4)=1/(5*6)=1/30$ e $P(5)=1/k=1/6$
Le probabilità verrebbero $P(0)=1/2; P(1)=1/6; P(2)=1/12; P(3)=1/20; P(4)=1/30; P(5)=1/6$
"Clod":
probabilmente sono io che non ho capito bene.... qualcuno puo' spiegarmi meglio ?
E' proprio come dice Cenzo.
E' l'ultimo termine che si "fratuma" in 2.
$1/5$ che diventa $1/6$ e la differenza tra i due è proprio il nuovo valore della serie $1/30$
"cenzo":
Potresti spiegare meglio come l'hai dedotta?
Diciamo che a colpo d'occhio si notava la stranezza dell'ultimo termine. calcolarlo è stato il piu semplice di tutti. Affinchè il primo termine vincesse su tutti non puo' che essere il termine piu' alto (nel nostro caso 5). Ora è facile capire che tutte le permutazioni si distribuiscono come primo carattere equamente tra i 5 possibili, pertanto le permutazioni che iniziano con 5 sono:
$(n!) / n$ --> $(n-1)!$
Per gli altri avevo simulato prima con 3 giocatori $(3!)$ poi con 4 $(4!)$, direi che la soluzione era dietro l'angolo.
A dire il vero, ne avevo trovata una altra, un po piu' fantasiosa, ma addirittura piu' efficiente, in quanto non necessita di distingure i primi 4 termini dall'ultimo (cosa che sono stato costretto a fare prima).
Si tratta di disporre i numeri da 1 a n in un cerchio. Nel nostro caso n=5. Vedi fig.
A questo punto prendiamo 3 elementi consecutivi. [Generalizzando (n-2)], e facciamo il prodotto.
Ci spostiamo di una posizione e ne prendiamo altri 3, e cosi via, fin quando abbiamo completato il giro.
Otteniamo:
1*2*3=6
2*3*4=24
3*4*5=60
4*5*1=20
5*1*2=10
Non sono altro che i 5 valori precedentemente trovati.
A questo punto prendiamo 3 elementi consecutivi. [Generalizzando (n-2)], e facciamo il prodotto.
Ci spostiamo di una posizione e ne prendiamo altri 3, e cosi via, fin quando abbiamo completato il giro.
Otteniamo:
1*2*3=6
2*3*4=24
3*4*5=60
4*5*1=20
5*1*2=10
Non sono altro che i 5 valori precedentemente trovati.
Davvero bella e sorprendente questa giostra dei numeri!
Hai fatto una magia!
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