Variabile aleatoria di Poisson per una costante
Salve,
Avendo un $n \in \mathbb{N}$ fissato, sia $X_1,...,X_n$ un campione aleatorio estratto da una popolazione modellata tramite una variabile aleatoria di Poisson di parametro $\lambda$, posso dire che $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$ e' ancora una Poisson?
Secondo me si' e ho fatto questo ragionamento:
Avendo un $n \in \mathbb{N}$ fissato, sia $X_1,...,X_n$ un campione aleatorio estratto da una popolazione modellata tramite una variabile aleatoria di Poisson di parametro $\lambda$, posso dire che $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$ e' ancora una Poisson?
Secondo me si' e ho fatto questo ragionamento:
[*:367yf8oq]La somma di due variabili di Poisson e' ancora una variabile di poisson avente come parametro la somma dei parametri,[/*:367yf8oq]
[*:367yf8oq]$X_i$ sono delle Poisson identicamente distribuite, quindi tutte con parametro $lambda$ pari a quello dela popolazione.
quindi $\sum_{i = 1}^{n}X_i$ e' ancora una poisson,
[/*:367yf8oq]
[*:367yf8oq] moltiplicare una variabile aleatoria di poisson per una costante $a$ vuol dire sostanzialmente sommare $a$ variabili di Poisson identicamente distributite, per questo motivo ponendo $ a = 1/n$ secondo me $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$ dovrebbe essere ancora una Poisson.[/*:367yf8oq]
[/list:u:367yf8oq]
Corretto?
Risposte
"dark777":
moltiplicare una variabile aleatoria di poisson per una costante $a$ vuol dire sostanzialmente sommare $a$ variabili di Poisson identicamente distributite
(i) non sono indipendenti
(ii) Se moltiplichi per $1/n$ puoi ottenere valori non-interi. Se moltiplichi per 2 ottieni solo valori pari. Insomma. No.
"ghira":
[quote="dark777"]
moltiplicare una variabile aleatoria di poisson per una costante $a$ vuol dire sostanzialmente sommare $a$ variabili di Poisson identicamente distributite
(i) non sono indipendenti
(ii) Se moltiplichi per $1/n$ puoi ottenere valori non-interi. Se moltiplichi per 2 ottieni solo valori pari. Insomma. No.[/quote]
Non sono indipendenti i campioni estratti da una popolazione?
Non ho capito la seconda affermazione, se moltiplico per 2 una variabile aleatoria di Poisson di parametro $\lambda$ ottengo ancora una Poisson ma di parametro $\lambda + \lambda = 2\lambda$.
"dark777":
Non sono indipendenti i campioni estratti da una popolazione?
Moltiplicare per 2 non è come prendere 2 campioni.
"dark777":
Non ho capito la seconda affermazione, se moltiplico per 2 una variabile aleatoria di Poisson di parametro $\lambda$ ottengo ancora una Poisson ma di parametro $\lambda + \lambda = 2\lambda$.
Non è vero. Se moltiplichi per 2 ottieni sempre numeri pari quindi non può essere di Poisson.
"ghira":
[quote="dark777"]
Non sono indipendenti i campioni estratti da una popolazione?
Moltiplicare per 2 non è come prendere 2 campioni.
"dark777":
Non ho capito la seconda affermazione, se moltiplico per 2 una variabile aleatoria di Poisson di parametro $\lambda$ ottengo ancora una Poisson ma di parametro $\lambda + \lambda = 2\lambda$.
Non è vero. Se moltiplichi per 2 ottieni sempre numeri pari quindi non può essere di Poisson.[/quote]
Ok, ho capito il perche', la somma e la moltiplicazione sono due cose diverse, infatti prendendo una variabile $ Y $ con supporto $ D_{Y} ={0,1}$, $2Y$ genera una variabile aleatoria con supporto $D_{2Y} ={0,2}$, invece $Y + Y $ genera una variabile aleatoria con supporto $D_{Y+Y} = {0,1,2}$
Ritornando all'indipendenza, i miei campioni $X_i$ estratti tutti dalla stessa popolazione $X$ sono chiaramente identicamente distribuiti, ma sono indipendenti o no?
"dark777":
Ritornando all'indipendenza, i miei campioni $X_i$ estratti tutti dalla stessa popolazione $X$ sono chiaramente identicamente distribuiti, ma sono indipendenti o no?
Immagino di sì. Intendevo che moltiplicare per $a$ non è come avere $a$ osservazioni indipendenti. Anzi, meno indipendenti di così...
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