Variabile aleatoria di Poisson

[mosca9]

Questo esercizio preso dal Weiss mi tormenta da giorni,ho provato vari metodi ma non trovo propio la soluzione, confido in un vostro aiuto

"In una certa popolazione il numero di raffreddori che una persona prende in un anno ha una distribuzione P(3). Un nuovo farmaco abbassa il paramentro da 3 a 0,75 ed è efficace per 8 persone su 10. All'inizio dell'anno tale farmaco è somministrato a tutta una popolazione. Alla fine dell'anno è scelta a caso una persona e si è osservato che tale persona ha avuto un solo raffreddore durante l'anno. Qual è la probabilità che il farmaco sia stato efficace per tale persona?"

[Gatto891]

Uhm... sia $E$ l'evento di cui vuoi sapere la probabilità, semplicemente $P(E) = P(E|lambda = 3)P(lambda=3) + P(E|lambda=0,75)P(lambda=0,75)$ (dove $lambda$ è il parametro della Poisson)

[mosca9]

P(E|λ=3) come lo trovi?

[cenzo1]

"mosca9":Questo esercizio preso dal Weiss mi tormenta da giorni,ho provato vari metodi ma non trovo propio la soluzione, confido in un vostro aiuto

"In una certa popolazione il numero di raffreddori che una persona prende in un anno ha una distribuzione P(3). Un nuovo farmaco abbassa il paramentro da 3 a 0,75 ed è efficace per 8 persone su 10. All'inizio dell'anno tale farmaco è somministrato a tutta una popolazione. Alla fine dell'anno è scelta a caso una persona e si è osservato che tale persona ha avuto un solo raffreddore durante l'anno. Qual è la probabilità che il farmaco sia stato efficace per tale persona?"

Io sarei propenso ad utilizzare il teorema di Bayes.
La probabilità a priori che il farmaco sia efficace è $P("efficace")=8/10=0.8$
La probabilità a priori che il farmaco non sia efficace è $P("non efficace")=1-0.8=0.2$
La probabilità a posteriori che il farmaco sia efficace, dato che abbiamo osservato un solo raffreddore, è rivalutata così:
$P("efficace|1raffr")=(P("1raffr|efficace")*P("efficace"))/(P("1raffr|efficace")*P("efficace")+P("1raffr|non efficace")*P("non efficace"))$
$P("efficace|1raffr")=(e^(-0.75)*(0.75^1)/(1!)*0.8)/(e^(-0.75)*(0.75^1)/(1!)*0.8+e^(-3)*(3^1)/(1!)*0.2)=0.905$