Vari esercizi Probabilità
Ciao a tutti, vorrei un aiuto su un paio di esercizi, apro il thread e di giorno in giorno scriverò qualcosina.
Oggi il problema è questo (e tale procedimento ad una letta veloce sta anche su altri esercizi più avanti che quindi mi risultano "bloccati" perchè non lo so fare).
Scrivo il testo dell'esercizio:
Una coppia di dadi viene lanciata fintanto che la loro somma dia 5 oppure 7. Si trovi la probabilità che il 5 venga ottenuto per primo.
SUGGERIMENTO: sia $E_n$ l'evento che 5 si ottenga all'n-esimo lancio e che non si sia ottenuto nè 5 nè 7 nei precedenti n-1 lanci. Si calcoli $P(E_n)$ e si dimostri che $\sum_{n=1}^\infty P(E_n)$ è la probabilità richiesta.
Dopo ore di calcoli con probabilità del poker, dei dadi e di tutti i più disparati giochi d'azzardo, mi si presenta sta botta che mi spiazza e di cui sul libro non ho un esempio.
L'idea perciò è stata quella di seguire il suggerimento e cercare qual'è la $P(E_n)$
Innanzitutto ho calcolato il numero totale degli eventi, tirati due dadi ogni lancio ha 36 combinazioni di valori, perciò dopo N lanci, contando l'ordine come sono usciti, avrò $36^n$ combinazioni.
Ora vado a cercare il numero di eventi che soddisfano la richiesta. Nello specifico, sui 36 eventi possibili avrò:
4 eventi che risultano dare come somma di valori 5 (1+4,2+3,3+2,4+1)
6 eventi che risultano dare come somma di valori 7 (1+6,2+5,3+4,4+3,5+2,6+1)
26 saranno gli eventi che non danno nè 5 nè 7.
l'idea per calcolare il numero di casi che abbiano 5 come ultimo valore (perchè poi i lanci si fermano) e nessun 7 o 5 prima è questa:
ho n-1 lanci che non danno nè 5 nè 7: $(26)^(n-1)$ e l'ultimo lancio dà 5 $4$
risultato $(26)^(n-1) * 4$
La probabilità risulta quindi $\frac{\text{soddisfano il criterio}}{\text{totali}}$
$P(E_n) = ((26)^(n-1) * 4)/36^n$
Che però non mi convince molto, la sommatoria inoltre non so calcolarla.
Aiuto?
Oggi il problema è questo (e tale procedimento ad una letta veloce sta anche su altri esercizi più avanti che quindi mi risultano "bloccati" perchè non lo so fare).
Scrivo il testo dell'esercizio:
Una coppia di dadi viene lanciata fintanto che la loro somma dia 5 oppure 7. Si trovi la probabilità che il 5 venga ottenuto per primo.
SUGGERIMENTO: sia $E_n$ l'evento che 5 si ottenga all'n-esimo lancio e che non si sia ottenuto nè 5 nè 7 nei precedenti n-1 lanci. Si calcoli $P(E_n)$ e si dimostri che $\sum_{n=1}^\infty P(E_n)$ è la probabilità richiesta.
Dopo ore di calcoli con probabilità del poker, dei dadi e di tutti i più disparati giochi d'azzardo, mi si presenta sta botta che mi spiazza e di cui sul libro non ho un esempio.
L'idea perciò è stata quella di seguire il suggerimento e cercare qual'è la $P(E_n)$
Innanzitutto ho calcolato il numero totale degli eventi, tirati due dadi ogni lancio ha 36 combinazioni di valori, perciò dopo N lanci, contando l'ordine come sono usciti, avrò $36^n$ combinazioni.
Ora vado a cercare il numero di eventi che soddisfano la richiesta. Nello specifico, sui 36 eventi possibili avrò:
4 eventi che risultano dare come somma di valori 5 (1+4,2+3,3+2,4+1)
6 eventi che risultano dare come somma di valori 7 (1+6,2+5,3+4,4+3,5+2,6+1)
26 saranno gli eventi che non danno nè 5 nè 7.
l'idea per calcolare il numero di casi che abbiano 5 come ultimo valore (perchè poi i lanci si fermano) e nessun 7 o 5 prima è questa:
ho n-1 lanci che non danno nè 5 nè 7: $(26)^(n-1)$ e l'ultimo lancio dà 5 $4$
risultato $(26)^(n-1) * 4$
La probabilità risulta quindi $\frac{\text{soddisfano il criterio}}{\text{totali}}$
$P(E_n) = ((26)^(n-1) * 4)/36^n$
Che però non mi convince molto, la sommatoria inoltre non so calcolarla.
Aiuto?
Risposte
Ok, ci sono arrivato anche io per via empirica, però ero curioso di sapere se ci fosse anche un metodo matematico per risolverlo. Grazie mille per la risposta.
Allego altri 2 esercizi che aspettano da ieri (sembrerà che stia approfittando, in realtà oltre i pochi che ho chiesto sono arrivato a quota 55 dal libro, ma ditemi se esagero)
1)Se 4 coppie di sposi sono sedute in fila si trovi la probabilità che nessun marito sieda a fianco della propria moglie.
Solito ragionamento, tutte le possibilità sono le 8! permutazioni delle persone.
Ora devo cercare i casi in cui non ci sia nessun marito vicino alla sua moglie. il ragionamento che ho fatto è stato questo:
scelgo una coppia corretta a caso (4 possibilità) fissata questa le altre 6 persone possono sedersi come vogliono e questa è la probabilità che almeno 1 coppia sia giusta.
Se faccio 1 - questa probabilità dovrei ottenere la probabilità che nessuna coppia sia giusta.
Il risultato verrebbe:
$(4* 6! * 2)/(8!)$ ma è sbagliato. Ho fatto decine di altre ipotesi ma nessuna si è rivelata corretta.
Empiricamente sono giunto a questo risultato: $4! * 4! * 2 * 12 $ ma non so assolutamente giustificare il motivo, è stato solo un tentativo a caso di trovare il numero giusto, partendo dalla soluzione.
2)
Si calcoli la probabilità che una mano di 13 carte contenga.
a) l'asso e il re di almeno un seme
il punto b l'ho risolto e quindi lo ometto.
che dire di questo, non riesco a interpretare la domanda...
ho fatto una ipotesi: scelgo un seme (4 possibilità) di questo prendo asso e re. successivamente calcolo la rimanenza della mano e le altre 3 mani.
\[ \frac{4 \cdot \binom{50}{13}\binom{39}{13}\binom{26}{13}\binom{13}{13}}{\binom{52}{13,13,13,13}} = 0,2352\]
Che però risulta essere sbagliata. ho pensato anche di dire "scelgo un seme di cui prendo l'asso (4 prob) scelgo un seme diverso da cui prendo il re (probabulità 3), ma il numero viene ancora più grande ovviamente e invece dovrebbe essere più piccolo. (0,21)
idee?
Allego altri 2 esercizi che aspettano da ieri (sembrerà che stia approfittando, in realtà oltre i pochi che ho chiesto sono arrivato a quota 55 dal libro, ma ditemi se esagero)
1)Se 4 coppie di sposi sono sedute in fila si trovi la probabilità che nessun marito sieda a fianco della propria moglie.
Solito ragionamento, tutte le possibilità sono le 8! permutazioni delle persone.
Ora devo cercare i casi in cui non ci sia nessun marito vicino alla sua moglie. il ragionamento che ho fatto è stato questo:
scelgo una coppia corretta a caso (4 possibilità) fissata questa le altre 6 persone possono sedersi come vogliono e questa è la probabilità che almeno 1 coppia sia giusta.
Se faccio 1 - questa probabilità dovrei ottenere la probabilità che nessuna coppia sia giusta.
Il risultato verrebbe:
$(4* 6! * 2)/(8!)$ ma è sbagliato. Ho fatto decine di altre ipotesi ma nessuna si è rivelata corretta.
Empiricamente sono giunto a questo risultato: $4! * 4! * 2 * 12 $ ma non so assolutamente giustificare il motivo, è stato solo un tentativo a caso di trovare il numero giusto, partendo dalla soluzione.
2)
Si calcoli la probabilità che una mano di 13 carte contenga.
a) l'asso e il re di almeno un seme
il punto b l'ho risolto e quindi lo ometto.
che dire di questo, non riesco a interpretare la domanda...
ho fatto una ipotesi: scelgo un seme (4 possibilità) di questo prendo asso e re. successivamente calcolo la rimanenza della mano e le altre 3 mani.
\[ \frac{4 \cdot \binom{50}{13}\binom{39}{13}\binom{26}{13}\binom{13}{13}}{\binom{52}{13,13,13,13}} = 0,2352\]
Che però risulta essere sbagliata. ho pensato anche di dire "scelgo un seme di cui prendo l'asso (4 prob) scelgo un seme diverso da cui prendo il re (probabulità 3), ma il numero viene ancora più grande ovviamente e invece dovrebbe essere più piccolo. (0,21)
idee?
"kevinpirola":
Ok, ci sono arrivato anche io per via empirica, però ero curioso di sapere se ci fosse anche un metodo matematico per risolverlo. Grazie mille per la risposta.
la parola "empirica" è sbagliata utilizzata in questo caso.
Abbiamo trovato il valore esatto, perchè siamo in discreto. Se utilizzassi qualche approssimazione ed avessi trovato tipo n=5.3 allora lì si che empiricamente potresti dedurre che servono $5$ persone. E' un piano differente.
Se vuoi utilizzare qualche trick algebrico, prova ad utilizzare l'uguaglianza $\prod_{k=1}^n (12-k+1) = {12!}/{(12-n)!}$
oppure passare per qualche approssimazione/maggiorazione.
"kevinpirola":
Empiricamente sono giunto a questo risultato: $4! * 4! * 2 * 12 $ ma non so assolutamente giustificare il motivo, è stato solo un tentativo a caso di trovare il numero giusto, partendo dalla soluzione.
Sembra che il calcolo non sia cosa molto semplice,
scrivendo un po di codice ho calcolato:
0 Coppie = 13.824
1 Coppia = 15.744
2 Coppie = 8.064
3 Coppie = 2.304
4 Coppie = 384
Da questi risultati ho cercato su OEIS se c'erano studi fatti su questa sequenza, ed ho trovato questo, denominato:
Triangle T(n,k) of ways n couples can sit in a row with exactly k of them together
http://oeis.org/A193639
La cosa mi risulta più difficile del previsto, ho fatto delle prove che però ancora mi lasciano perplesso avrò bisogno di qualche giorno per somatizzare...
chiedo scusa per la parola "empirica" al posto sbagliato, era un modo sbagliato per intendere quello che comunemente chiamerei "hands on" ovvero provando con la calcolatrice.
Per il momento mi sembra tutto abbastanza chiaro nelle spiegazioni, domani mi riprometto di rileggere tutto il thread così da avere un bel ripasso.
Ora argomento nuovo, problemi nuovi, e non pochi...
Probabilità condizionate.
ecco due esercizi che mi hanno fatto passare le ultime 2 ore, sarà il sonno ma non ne vengo fuori...
1) Usare la formula $P(E|F) = \frac{P(EF)}{P(F)}$ per calcolare, in una mano di bridge, la probabilità che il giocatore 1 abbia 3 picche sapendo che gioc2 e gioc3 hanno in totale 8 picche.
Il mio problema è che devo usare tassativamente quella formula, ma non riesco ad applicarla correttamente. Sul libro è presentato l'esempio con le combinazioni classico che risulta
\[ \frac{\binom{5}{3} \cdot \binom{21}{10}}{\binom{26}{13}} = 0.339 \]
Che è ovviamente calcolato solo sulle 26 carte rimaste tolte le mani di gioc2 e gioc3. devo trovare lo stesso risultato ma con la formula descritta.
Io ho fatto questa cosa qui: (nord e sud sono giocatore 2 e 3, est è giocatore 1)
evento F: Nord e Sud hanno insieme 8 picche nelle loro mani.
evento E: Est ha 3 picche in mano
$P(E|F) = {P(EF)}/{P(F)} -> P(E|F) = \frac{P(F|E)P(E)}{P(F)}$
ora, io so calcolare P(E):
\[ \frac{\binom{13}{3} \cdot \binom{39}{10}}{\binom{52}{13,13,13,13}} \]
so calcolare P(F):
\[ \frac{\binom{13}{8} \cdot \binom{39}{18}}{\binom{52}{13,13,13,13}} \]
ma non so calcolare P(EF).... AIUTO?
ES2)
Si consideri un'urna contenente 12 palline delle quali 8 sono bianche, se ne estraggono 4 a caso. Consideranto sia estrazione con rimpiazzo che senza determinare la probabilità condizionata che la prima e la terza pallina siano bianche sapendo che in tutto sono state estratte 3 palline bianche.
il ragionamento che ho fatto è simile a quello di prima:
$P(E|F) = {P(EF)}/{P(F)} -> P(E|F) = \frac{P(F|E)P(E)}{P(F)}$
dove E è l'evento che la prima e la terza pallina siano bianche e
F è l'evento che siano state estratte 3 palline bianche.
ora provo a calcolare $P(E) = (8*4*7*3 + (8*6*7*4) + (8*6*7*5) + (8*4*7*6))/(12*11*10*9) = 0,4242$
calcolo $P(F) = $casi: BBBX BBXB BXBB XBBB $= (4*(8*7*6*4))/(12*11*10*9) = 0,4525$
però come prima mi trovo incartato sul resto....
aiutatemi voi che ci sto perdendo trooooppo tempo sopra...
chiedo scusa per la parola "empirica" al posto sbagliato, era un modo sbagliato per intendere quello che comunemente chiamerei "hands on" ovvero provando con la calcolatrice.
Per il momento mi sembra tutto abbastanza chiaro nelle spiegazioni, domani mi riprometto di rileggere tutto il thread così da avere un bel ripasso.
Ora argomento nuovo, problemi nuovi, e non pochi...
Probabilità condizionate.
ecco due esercizi che mi hanno fatto passare le ultime 2 ore, sarà il sonno ma non ne vengo fuori...
1) Usare la formula $P(E|F) = \frac{P(EF)}{P(F)}$ per calcolare, in una mano di bridge, la probabilità che il giocatore 1 abbia 3 picche sapendo che gioc2 e gioc3 hanno in totale 8 picche.
Il mio problema è che devo usare tassativamente quella formula, ma non riesco ad applicarla correttamente. Sul libro è presentato l'esempio con le combinazioni classico che risulta
\[ \frac{\binom{5}{3} \cdot \binom{21}{10}}{\binom{26}{13}} = 0.339 \]
Che è ovviamente calcolato solo sulle 26 carte rimaste tolte le mani di gioc2 e gioc3. devo trovare lo stesso risultato ma con la formula descritta.
Io ho fatto questa cosa qui: (nord e sud sono giocatore 2 e 3, est è giocatore 1)
evento F: Nord e Sud hanno insieme 8 picche nelle loro mani.
evento E: Est ha 3 picche in mano
$P(E|F) = {P(EF)}/{P(F)} -> P(E|F) = \frac{P(F|E)P(E)}{P(F)}$
ora, io so calcolare P(E):
\[ \frac{\binom{13}{3} \cdot \binom{39}{10}}{\binom{52}{13,13,13,13}} \]
so calcolare P(F):
\[ \frac{\binom{13}{8} \cdot \binom{39}{18}}{\binom{52}{13,13,13,13}} \]
ma non so calcolare P(EF).... AIUTO?
ES2)
Si consideri un'urna contenente 12 palline delle quali 8 sono bianche, se ne estraggono 4 a caso. Consideranto sia estrazione con rimpiazzo che senza determinare la probabilità condizionata che la prima e la terza pallina siano bianche sapendo che in tutto sono state estratte 3 palline bianche.
il ragionamento che ho fatto è simile a quello di prima:
$P(E|F) = {P(EF)}/{P(F)} -> P(E|F) = \frac{P(F|E)P(E)}{P(F)}$
dove E è l'evento che la prima e la terza pallina siano bianche e
F è l'evento che siano state estratte 3 palline bianche.
ora provo a calcolare $P(E) = (8*4*7*3 + (8*6*7*4) + (8*6*7*5) + (8*4*7*6))/(12*11*10*9) = 0,4242$
calcolo $P(F) = $casi: BBBX BBXB BXBB XBBB $= (4*(8*7*6*4))/(12*11*10*9) = 0,4525$
però come prima mi trovo incartato sul resto....
aiutatemi voi che ci sto perdendo trooooppo tempo sopra...
"kevinpirola":
$P(E|F) = {P(EF)}/{P(F)}$
da dove hai tirato fuori tale uguaglianza? che evento sarebbe $EF$?
poi questa implicazione:
"kevinpirola":
$P(E|F) = {P(EF)}/{P(F)} -> P(E|F) = \frac{P(F|E)P(E)}{P(F)}$
mai vista.
Forse l'esercizio intende: $P(E|F) = {P(E nn F)}/{P(F)} = \frac{P(F|E)P(E)}{P(F)}$
Quindi $EF$ sarebbe l'intersezione.
EF è l'intersezione per il mio libro, mi son dimenticato di specificare, scusa
ok, per l'intersezione. Di che libro si tratta?
cosa vorrebbe dire: \(\binom{52}{13,13,13,13}\)?
se tali notazioni derivano da tale libro, dal mio ridottissimo punto di vista, è una pessima notazione.
sai calcolare $P(F|E)$?
cosa vorrebbe dire: \(\binom{52}{13,13,13,13}\)?
se tali notazioni derivano da tale libro, dal mio ridottissimo punto di vista, è una pessima notazione.
sai calcolare $P(F|E)$?
allora, il libro è lo Sheldon M. Ross, Calcolo delle Probabilità.
la notazione [tex]\binom{52}{13,13,13,13}[/tex] altro non è che la contrazione di questo:
[tex]\binom{52}{13} \cdot \binom{39}{13} \cdot \binom{26}{13} \cdot \binom{13}{13} = \frac{52!}{13!\cdot\rlap{--}39!}\cdot\frac{\rlap{--}39!}{13!\cdot\rlap{--}26!}\cdot\frac{\rlap{--}26!}{13!\cdot13!} = \frac{52!}{13!\cdot13!\cdot13!\cdot13!}[/tex]
per il calcolo delle mani di bridge.
non so calcolare $P(F|E)$ altrimenti credo che sarebbe facile anche calcolare $P(E|F)$
scusate la pausa ma ho avuto del lavoro da fare e non ho potuto prendere in mano il libro
la notazione [tex]\binom{52}{13,13,13,13}[/tex] altro non è che la contrazione di questo:
[tex]\binom{52}{13} \cdot \binom{39}{13} \cdot \binom{26}{13} \cdot \binom{13}{13} = \frac{52!}{13!\cdot\rlap{--}39!}\cdot\frac{\rlap{--}39!}{13!\cdot\rlap{--}26!}\cdot\frac{\rlap{--}26!}{13!\cdot13!} = \frac{52!}{13!\cdot13!\cdot13!\cdot13!}[/tex]
per il calcolo delle mani di bridge.
non so calcolare $P(F|E)$ altrimenti credo che sarebbe facile anche calcolare $P(E|F)$
scusate la pausa ma ho avuto del lavoro da fare e non ho potuto prendere in mano il libro
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