Var. Aleatoria doppia - Calcolo densità marginale
Si consideri la variabile aleatoria doppia (X,Y) avente densità discretà:
$| (x\\y, 0, 1,2) , (-1,(1/2) - p,1/10,0), (0,1/10,1/10,1/10),(1,0,1/10,p) |$
Determinare i valori di p ammissibili;
Ricavare la densità marginale di X e quella di Y;
Stabilire se esiste un valore di p per cui X e Y sono indipendenti;
Calcolare la covarianza di (X,Y) e determinare max e min al variare di p.
Allora io ho provato a risolvere l'esercizio: ho scritto la tabella
$| (x\\y, 0, 1,2,p_x(x)) , (-1,1/2 - p,1/10,0,6/10-p), (0,1/10,1/10,1/10,3/10),(1,0,1/10,p,1/10 + p),(p_y(y), 6/10 - p, 3/10,1/10+p,1) |$
Però avendo anche lo svolgimento sono andato a controllare se fosse esatto ma il III valore della riga $p_y(y)$ è semplicemente p ma cosi facendo poi la somma dei vari termini non darebbe 1. Sbaglio io o è sbagliato lo svolgimento (fatto dal prof)?
Altra domanda...Come li determino i valori ammissibili di p?
$| (x\\y, 0, 1,2) , (-1,(1/2) - p,1/10,0), (0,1/10,1/10,1/10),(1,0,1/10,p) |$
Determinare i valori di p ammissibili;
Ricavare la densità marginale di X e quella di Y;
Stabilire se esiste un valore di p per cui X e Y sono indipendenti;
Calcolare la covarianza di (X,Y) e determinare max e min al variare di p.
Allora io ho provato a risolvere l'esercizio: ho scritto la tabella
$| (x\\y, 0, 1,2,p_x(x)) , (-1,1/2 - p,1/10,0,6/10-p), (0,1/10,1/10,1/10,3/10),(1,0,1/10,p,1/10 + p),(p_y(y), 6/10 - p, 3/10,1/10+p,1) |$
Però avendo anche lo svolgimento sono andato a controllare se fosse esatto ma il III valore della riga $p_y(y)$ è semplicemente p ma cosi facendo poi la somma dei vari termini non darebbe 1. Sbaglio io o è sbagliato lo svolgimento (fatto dal prof)?
Altra domanda...Come li determino i valori ammissibili di p?
Risposte
"pippopelo":
Si consideri la variabile aleatoria doppia (X,Y) avente densità discretà:
$| (x\\y, 0, 1,2) , (-1,(1/2) - p,1/10,0), (0,1/10,1/10,1/10),(1,0,1/10,p) |$
CUT
Però avendo anche lo svolgimento sono andato a controllare se fosse esatto ma il III valore della riga $p_y(y)$ è semplicemente p ma cosi facendo poi la somma dei vari termini non darebbe 1. Sbaglio io o è sbagliato lo svolgimento (fatto dal prof)?
A me sembra giusto come hai scritto tu.
Altra domanda...Come li determino i valori ammissibili di p?
Penso che basti porre uguale a 1 la somma di tutti i termini della sottomatrice 3x3 in basso a destra della matrice che ho quotato, no?
"retrocomputer":
[quote="pippopelo"]Altra domanda...Come li determino i valori ammissibili di p?
Penso che basti porre uguale a 1 la somma di tutti i termini della sottomatrice 3x3 in basso a destra della matrice che ho quotato, no?[/quote]
E' l'ho già fatto nella II matrice, o non intendiamo la stessa cosa?
"pippopelo":
E' l'ho già fatto nella II matrice, o non intendiamo la stessa cosa?
Sì, bravo, proprio quello, il numero 1 in basso a destra. E questo risultato cosa ti dice sulle $p$ ammissibili?
"retrocomputer":
[quote="pippopelo"]
E' l'ho già fatto nella II matrice, o non intendiamo la stessa cosa?
Sì, bravo, proprio quello, il numero 1 in basso a destra. E questo risultato cosa ti dice sulle $p$ ammissibili?
[/quote]Poco e niente purtroppo....
"pippopelo":
Poco e niente purtroppo....
Beh, a me dice che la somma non dipende da $p$, che fa 1 per ogni valore di $p$. Quindi i valori ammissibili di $p$ sono... Tutti
"retrocomputer":
[quote="pippopelo"]
Poco e niente purtroppo....
Beh, a me dice che la somma non dipende da $p$, che fa 1 per ogni valore di $p$. Quindi i valori ammissibili di $p$ sono... Tutti
[/quote]A me dice $ 0<=p<=1/2 $ il problema è perchè?
"pippopelo":
A me dice $ 0<=p<=1/2 $ il problema è perchè?
Giusto, i termini devono anche tutti essere compresi tra 0 e 1... In particolare devono essere tutti positivi.
Dovendo essere tutti positivi allora il limite minimo è 0 e con $p(x,y)>=0$ risulta essere $1/2-p>=0$ p risulta ammissibile per i valori detti.
Capito,ora provo con un altro esercizio.
Ora faccio questo: Stabilire se esiste un valore di p per cui X e Y sono indipendenti;
Devo verificare che $p(x,y)=p_X(x)p_Y(y) per tutti i valori della tabella fino a che non è vera l'equazione, o c'è un metodo veloce?
Capito,ora provo con un altro esercizio.
Ora faccio questo: Stabilire se esiste un valore di p per cui X e Y sono indipendenti;
Devo verificare che $p(x,y)=p_X(x)p_Y(y) per tutti i valori della tabella fino a che non è vera l'equazione, o c'è un metodo veloce?
"pippopelo":
Ora faccio questo: Stabilire se esiste un valore di p per cui X e Y sono indipendenti;
Devo verificare che $p(x,y)=p_X(x)p_Y(y)$ per tutti i valori della tabella fino a che non è vera l'equazione, o c'è un metodo veloce?
Io conosco solo quel metodo. Per fare prima si potrebbe trovare un caso in particolare, magari uno senza la $p$ per cui non vale la relazione di indipendenza, quindi provare che non possono essere indipendenti... Non so, $p(0,1)$...
Perché per essere indipendenti, le relazioni devono essere tutte vere, se non sbaglio.
"retrocomputer":
[quote="pippopelo"]
Ora faccio questo: Stabilire se esiste un valore di p per cui X e Y sono indipendenti;
Devo verificare che $p(x,y)=p_X(x)p_Y(y)$ per tutti i valori della tabella fino a che non è vera l'equazione, o c'è un metodo veloce?
Io conosco solo quel metodo. Per fare prima si potrebbe trovare un caso in particolare, magari uno senza la $p$ per cui non vale la relazione di indipendenza, quindi provare che non possono essere indipendenti... Non so, $p(0,1)$...[/quote]
Ok,quindi basta trovarne un valore per il quale l'uguaglianza non è vera...$p(0,1) = 1/10 != p_X(0)p_X(1) = 3/10 * 3/10$ e risolvo anche questo punto.
Andando avanti:
$Cov(X,Y)=E(XY) - E(X)E(Y)$ con $E(X)=(-1)(6/10-p)+p+1/10=2p-1/2$ con $E(Y) = 3/10 + 2(p+1/10)= 2p+1/2$
Come calcolo E(XY)?
Grazie
$E(X,Y) = sum_{i,j} x_i y_j p_{XY}(x_i, y_j)$
scusa se te lo chiedo, ho dato una letta veloce al topic: la scorrelazione è una condizione necessaria per l'indipendenza, però siccome devi comunque calcolarti le densità non ti conviene semplicemente vedere che la densità congiunta sia uguale al prodotto delle densità?
scusa se te lo chiedo, ho dato una letta veloce al topic: la scorrelazione è una condizione necessaria per l'indipendenza, però siccome devi comunque calcolarti le densità non ti conviene semplicemente vedere che la densità congiunta sia uguale al prodotto delle densità?
"enr87":
$E(X,Y) = sum_{i,j} x_i y_j p_{XY}(x_i, y_j)$
scusa se te lo chiedo, ho dato una letta veloce al topic: la scorrelazione è una condizione necessaria per l'indipendenza, però siccome devi comunque calcolarti le densità non ti conviene semplicemente vedere che la densità congiunta sia uguale al prodotto delle densità?
Ti dirò, non lo so però sto seguendo lo svolgimento del prof (che conviene sempre!!!).
Ho calcolato $E(X,Y)$ come da te detto è risulto $E(X,Y)=2p$ quindi $Cov(X,Y)=1/4+2p-4p^2$. Poi per trovare max e min ne faccio la derivata... e completo l'esercizio. Molte Grazie...
Ora però avrei un altro problema,
Nell'estrazione senza reinserimento di 2 biglie da un'urna contenente numeri da 1 a 4, sia X il numero di volte che esce un numero pari, e sia Y il numero minimo estratto.
Determinare densità di probabilità congiunta p(x,y) = P(X=x,Y=y)
Stabilire se X,Y sono indipendenti
Ricavare la varianza di X-Y
Calcolare il coeff. di correlazione di (X,Y)
Allora
$|(omega,X,Y),(1 \\ 2,1,1),(1\\ 3,0,1),(1 \\ 4,1,1),(2\\ 3,1,2),(2 \\ 4,2,2),(3 \\ 4,1,3)|$
ora dovrei mettere i valori nella tabella come si fa? Me lo spiegate? Grazie.
"pippopelo":
..Poi per trovare max e min ne faccio la derivata... e completo l'esercizio. Molte Grazie...
forse non ho capito cosa devi trovarti, semmai dovresti imporre che la covarianza sia nulla.. comunque è una parabola con concavità verso il basso.
"pippopelo":
Ora però avrei un altro problema,
Nell'estrazione senza reinserimento di 2 biglie da un'urna contenente numeri da 1 a 4, sia X il numero di volte che esce un numero pari, e sia Y il numero minimo estratto.
Determinare densità di probabilità congiunta p(x,y) = P(X=x,Y=y)
Stabilire se X,Y sono indipendenti
Ricavare la varianza di X-Y
Calcolare il coeff. di correlazione di (X,Y)
Allora
$|(omega,X,Y),(1 \\ 2,1,1),(1\\ 3,0,1),(1 \\ 4,1,1),(2\\ 3,1,2),(2 \\ 4,2,2),(3 \\ 4,1,3)|$
ora dovrei mettere i valori nella tabella come si fa? Me lo spiegate? Grazie.
la probabilità è data dal numero dei casi favorevoli/ numero esiti possibili.
lì hai 6 possibili esiti (perchè non consideri le permutazioni, ma va bene lo stesso). quindi ad esempio P(X=1, Y=1) = 2/6 = 1/3.
"enr87":
comunque è una parabola con concavità verso il basso .[\quote]
sisi mi trovo.
la probabilità è data dal numero dei casi favorevoli/ numero esiti possibili.
lì hai 6 possibili esiti (perchè non consideri le permutazioni, ma va bene lo stesso). quindi ad esempio P(X=1, Y=1) = 2/6 = 1/3.
continuo a non capire, forse mi sfugge qualcosa potresti spiegarmi nel dettaglio il perchè.
Molte Grazie.
basta che conti le volte che compare la coppia X=1, Y=1 nella tabella che hai scritto tu
"enr87":
basta che conti le volte che compare la coppia X=1, Y=1 nella tabella che hai scritto tu
Mi trovo. Perfetto. Anche con tutti gli altri esercizi.
Curiosità: A volte il prof calcola la $Var(X+Y) = Var (X) + Var (Y) +2Cov(X,Y)$ e altre volte $Var(X+Y) = Var (X) + Var (Y)$
Come mai?
Come mai?
"pippopelo":
Curiosità: A volte il prof calcola la $Var(X+Y) = Var (X) + Var (Y) +2Cov(X,Y)$ e altre volte $Var(X+Y) = Var (X) + Var (Y)$
Come mai?
Se $Cov(X,Y)=0$ si applica la seconda formula: per esempio se $X$ e $Y$ sono indipendenti.
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