Valori assunti da una variabile aleatoria
Buongiorno a tutti. Il testo di un esercizio dice:
Due v.a. X e Y sono indipendenti e distribuite con densità di probabilità
$ p(x) = \frac{1}{2}x$ è la densità di probabilità, con $ 0≤x≤2 $
Si consideri la v.a. $Z = 4(X + Y )$.
Dove v.a = variabile aleatoria
Determinare i valori assunti da Z .
Come mi devo muovere?
Avrei pensato di fare così: X e Y prendono valori da 0 a 2, quindi Z assume valori da 0 a 4*(4)? (mi sembra di dire una bischerata enorme e senza senso..)
Mi direi di non avere capito proprio alla base il significato di variabile aleatoria, ma da nessuna parte trovo una spiegazione attinente, quindi chiedo a voi qualche informazione.
Grazie mille
Due v.a. X e Y sono indipendenti e distribuite con densità di probabilità
$ p(x) = \frac{1}{2}x$ è la densità di probabilità, con $ 0≤x≤2 $
Si consideri la v.a. $Z = 4(X + Y )$.
Dove v.a = variabile aleatoria
Determinare i valori assunti da Z .
Come mi devo muovere?
Avrei pensato di fare così: X e Y prendono valori da 0 a 2, quindi Z assume valori da 0 a 4*(4)? (mi sembra di dire una bischerata enorme e senza senso..)
Mi direi di non avere capito proprio alla base il significato di variabile aleatoria, ma da nessuna parte trovo una spiegazione attinente, quindi chiedo a voi qualche informazione.
Grazie mille
Risposte
È giusto! $ Z in [0; 16] $
Potresti farmi capire come mai? al livello teorico
La definizione di v.a. la trovi su qualunque testo di Statistica. E' una funzione $f(x)$ sullo spazio $(Omega, P)$ che associa ad ogni evento dello spazio $Omega$ un numero $p$ detto probabilità e gode di determinate proprietà:
$f(x)>=0 AAx$
$int_(-oo)^(+oo)f(x)dx=1$
Il dominio dell'esercizio si trova esattamente come hai pensato tu....
sia $x$ che $y$ possono assumere tutti i valori $in [0;2]$ secondo una determinata legge di probabilità, $p(x)=x/2$ e $p(y)=y/2$.
E' evidente (sostituendo i valori min e max della $x$ e $y$ in $z$) che la variabile $4(X+Y)$ potrà assumere tutti i valori $in [0;16]$
Altro esempio:
$X,Y$ sono variabili uniformi su $[0;1]$ e indipendenti.
Che valori assumono le variabili:
$Z_(1)=X/Y$
$Z_(2)=X+Y$
$Z_(3)=|X-Y|$
$Z_(4)=XY$
$Z_(5)=X/(X+Y)$
Una volta calcolato il dominio della nuova variabile $Z$ il problema più complicato (ma non difficilissimo) sarà quello di determinare la legge di probabilità di $Z$
nel tuo caso la funzione di ripartizione della variabile $Z=4(X+Y)$ si trova risolvendo i seguenti integrali doppi:
$F_(1)= int_(0)^(z/4)int_(0)^(z/4-x)(xy)/4dxdy $
$F_(2)=int_(z/4-2)^(2)int_(z/4-x)^(2)(xy)/4dxdy$
$F_(Z)(z)-={{: ( 0 , ;z<0 ),(F_(1), ;0<=z<8 ),( 1-F_(2) , ;8<=z<16 ),( 1 , ;z>=16 ) :}$
che se hai voglia puoi tranquillamente calcolare, dato che sono estremamente semplici anche se un po' noiosi....una volta calcolati puoi divertirti a verificare che le proprietà della CDF siano soddisfatte.
Per trovare la densità di $Z$ basta derivare la $F_(Z)(z)$
$f(x)>=0 AAx$
$int_(-oo)^(+oo)f(x)dx=1$
Il dominio dell'esercizio si trova esattamente come hai pensato tu....
sia $x$ che $y$ possono assumere tutti i valori $in [0;2]$ secondo una determinata legge di probabilità, $p(x)=x/2$ e $p(y)=y/2$.
E' evidente (sostituendo i valori min e max della $x$ e $y$ in $z$) che la variabile $4(X+Y)$ potrà assumere tutti i valori $in [0;16]$
Altro esempio:
$X,Y$ sono variabili uniformi su $[0;1]$ e indipendenti.
Che valori assumono le variabili:
$Z_(1)=X/Y$
$Z_(2)=X+Y$
$Z_(3)=|X-Y|$
$Z_(4)=XY$
$Z_(5)=X/(X+Y)$
Una volta calcolato il dominio della nuova variabile $Z$ il problema più complicato (ma non difficilissimo) sarà quello di determinare la legge di probabilità di $Z$
nel tuo caso la funzione di ripartizione della variabile $Z=4(X+Y)$ si trova risolvendo i seguenti integrali doppi:
$F_(1)= int_(0)^(z/4)int_(0)^(z/4-x)(xy)/4dxdy $
$F_(2)=int_(z/4-2)^(2)int_(z/4-x)^(2)(xy)/4dxdy$
$F_(Z)(z)-={{: ( 0 , ;z<0 ),(F_(1), ;0<=z<8 ),( 1-F_(2) , ;8<=z<16 ),( 1 , ;z>=16 ) :}$
che se hai voglia puoi tranquillamente calcolare, dato che sono estremamente semplici anche se un po' noiosi....una volta calcolati puoi divertirti a verificare che le proprietà della CDF siano soddisfatte.
Per trovare la densità di $Z$ basta derivare la $F_(Z)(z)$
Grazie mille delle rispote super chiare ed esaustive! Potresti giusto dirmi come impostare il ragionamento per i iintergrali?
dunque l'argomento è piuttosto complesso...vediamo se riesco a riassumerlo velocemente:
facciamo un esempio più semplice
$f_(X)=1$;$x in[0;1]$
$f_(Y)=1$;$y in[0;1]$
$X,Y$ indipendenti $rarr f(x,y)=f(x)f(y)=1$
Cerchiamo la distribuzione di $Z=X+Y$
la distribuzione è nota, ed è una distribuzione triangolare su $[0;2]$ ma vediamo come calcolarla
Ovviamente, dato che $X,Y in[0;1] rarr Z in [0;2]$
la Funzione di ripartizione di $Z$ è definita così:
$F_(Z)(z)=P(Z<=z)=P(Y<=z-x)=intint_(y<=z-x)f(x,y)dxdy=intint_(y<=z-x)dxdy$
ovviamente essendo l'integranda =1 non servirebbe risolvere gli integrali, in quanto il valore dell'integrale doppio coincide con l'area di integrazione...ma facciamo finta di niente e calcoliamolo
dobbiamo in pratica integrare $1$ sul dominio del seguente grafico
come vedi dal grafico, se $z<1$ l'area di integrazione è il triangolino in basso a sinistra e quindi l'integrale diventa
$int_(0)^(z)int_(0)^(z-x)dxdy=...=z^2/2$
se invece $z>1$ allora l'area di integrazione è tutto il quadrato meno il triangolino in alto a destra, ovvero
$1-int_(z-1)^(1)int_(z-x)^(1)dxdy=..=1-(2-z)^2/2$
derivando la $F_(Z)$ così ottenuta:
facciamo un esempio più semplice
$f_(X)=1$;$x in[0;1]$
$f_(Y)=1$;$y in[0;1]$
$X,Y$ indipendenti $rarr f(x,y)=f(x)f(y)=1$
Cerchiamo la distribuzione di $Z=X+Y$
la distribuzione è nota, ed è una distribuzione triangolare su $[0;2]$ ma vediamo come calcolarla
Ovviamente, dato che $X,Y in[0;1] rarr Z in [0;2]$
la Funzione di ripartizione di $Z$ è definita così:
$F_(Z)(z)=P(Z<=z)=P(Y<=z-x)=intint_(y<=z-x)f(x,y)dxdy=intint_(y<=z-x)dxdy$
ovviamente essendo l'integranda =1 non servirebbe risolvere gli integrali, in quanto il valore dell'integrale doppio coincide con l'area di integrazione...ma facciamo finta di niente e calcoliamolo
dobbiamo in pratica integrare $1$ sul dominio del seguente grafico
come vedi dal grafico, se $z<1$ l'area di integrazione è il triangolino in basso a sinistra e quindi l'integrale diventa
$int_(0)^(z)int_(0)^(z-x)dxdy=...=z^2/2$
se invece $z>1$ allora l'area di integrazione è tutto il quadrato meno il triangolino in alto a destra, ovvero
$1-int_(z-1)^(1)int_(z-x)^(1)dxdy=..=1-(2-z)^2/2$
derivando la $F_(Z)$ così ottenuta:
Ho lo stesso esercizio nel quaderno e questa spiegazione mi ha aiutato molto, visto che non mi tornva un intervallo di integrazione; io lo avrei fatto come il tuo, ma sul quaderno avevo scritto diversamente.
Non capisco però come mai viene fatta la distinzione con $z<1 e >1$ e come mai viene tolto (o fatto) il triangolo a dx (a sx)...
Inoltre non capisco come scrivere la $f(x,y)$ nell'esercizio con $Z = 4(X+Y)$
Non capisco però come mai viene fatta la distinzione con $z<1 e >1$ e come mai viene tolto (o fatto) il triangolo a dx (a sx)...
Inoltre non capisco come scrivere la $f(x,y)$ nell'esercizio con $Z = 4(X+Y)$
"mrOrange":
Ho lo stesso esercizio nel quaderno e questa spiegazione mi ha aiutato molto. Non capisco però come mai viene fatta la distinzione con $z<1 e >1$...
Inoltre non capisco come scrivere la $f(x,y)$ nell'esercizio con $Z = 4(X+Y)$
la distinzione fra $z<1$ e $z>1$ dipende dalla forma dell'area di integrazione..nell'esempio che ti ho risolto, se $z<1$ la retta $z=x+y$ descrive un triangolo all'interno del quadrato $[0;1]^2$
se invece $z>1$ come puoi notare la forma dell'area di integrazione cambia...devi fare un po' di pratica con gli integrali doppi...altrimenti è difficile spiegarti
Nell'esercizio iniziale (mi pare di aver capito, dato che non l'hai scritto in maniera esplicita) abbiamo:
$f_(X)=x/2I_([0;2])(x)$
$f_(Y)=y/2I_([0;2])(y)$
dato che le variabili sono indipendenti allora $f(x,y)=f(x)f(y)=(xy)/4$
leggi bene le cose che ti ho scritto e guarda bene anche i topic che ti ho allegato...se cerchi ne trovi moltissimi utili
Grazie mille delle riposte sempre ottime, mi hai risolto tutti i dubbi!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo