Valore massimo di un processo stocastico

[simox2]

Ciao a tutti,

Mi trovo nel dubbio a risolvere un esercizio.

Dato un processo stocastico \(\displaystyle X(t) \):

\(\displaystyle \begin{aligned}
& X(t) = \begin{cases}
t^W & \quad \text{se} \quad 0 \leq t \leq W\\
W t^{W - 1} & \quad \text{se} \quad t > W
\end{cases}\\
& W \sim U(0,1)\\
& f_W(w) = \begin{cases}
1 &\quad \text {se} \quad w \in (0,1)\\
0 &\quad \text {altrimenti} \\
\end{cases}
\end{aligned} \)

viene definito M il valore massimo di \(\displaystyle X(t) \) ad ogni sua realizzazione e mi si chiede di calcolare la funzione \(\displaystyle E(M) \).

Ho calcolato la funzione \(\displaystyle m(t) \) cosi:

\(\displaystyle \begin{aligned}
m(t) &= \int_{-\infty}^{+\infty} X(t)f_W(w)\,\text dw = \int_0^t wt^{w - 1}\,\text dw + \int_t^1 t^w \,\text dw\\
& = {t - t^t \over \ln|t|}+{1 + t^t(t \ln|t|-1)\over t \ln^2|t|}
\end{aligned} \)

Ma qui poi vado nei pasticci..
Non mi è chiaro se devo lavorare sulla funzione \(\displaystyle m(t) \) e quindi trovare il punto \(\displaystyle M \) derivando, come ho sempre fatto con qualsiasi funzione, oppure lavorare sulle derivare dei 'pezzi' della funzione:

\(\displaystyle
\begin{aligned}
& (1)\quad {\text d(t^W )\over \text dt} = Wt^{W-1} & \text{if} \quad 0 \leq t \leq W \\
& (2)\quad{\text d(W t^{W - 1})\over \text dt} = (W-1)Wt^{W-2} & \text{if} \quad t > W\\
\end{aligned}
\)

Per il momento sono confuso perché dalle derivate qui sopra non vedo una soluzione. O sono io 'cieco'.
Direi quindi che devo calcolare la derivata:

\(\displaystyle {\text d m(t) \over \text dt} \)

E lavorare su questa funzione, il che mi sembra più logico come ragionamento.
Però al momento sono insucuro e vorrei rassicurarmi di aver capito bene.

Ringrazio in anticipo.

[simox2]

Sono un fesso.

Il valore massimo \(\displaystyle M \) di ogni realizzazione è dato quando \(\displaystyle t^w = wt^{w-1} \Rightarrow t = w \) e quindi continuo da questo...

Ciao.