Valore Atteso successione di Gaussiane (Martingala)
riporto il testo dell'esercizio: sia $ X_n $ una successione di v.c gaussiane $ X~ N(mu,sigma^2) $ e sia $ S_n=sum_(k=1)^nX_k $ con $ Y=e^(S_n) $
Si determini $ mu $ affinchè $ E[Y]=0 $
io ho proceduto così:
$ E[Y]=0; E[e^(s_n)]=0;E[e^(sum_(k=1)^nX_k)]=0 $
a questo punto ho standardizzato (Z è gaussiana standard(0,1)) e tolto la sommatoria.
$ E[e^(n(mu+sigmaZ))]=0;e^(nmu)E[e^(nsigmaZ)]=0 $
faccio la trasformata di Laplace per risolvere il val atteso ( $ E[e^(sigmaZ)]=e^(sigma^2/(2)) $ ) e ottengo quindi..
$ e^(nmu) e^((sigma^2n^2)/(2))=0; $
a questo punto non so come continuare per trovarmi $ mu $ e se ciò che ho fatto fino ad ora è giusto
Qualche idea o consiglio? Grazie buona serata.
Si determini $ mu $ affinchè $ E[Y]=0 $
io ho proceduto così:
$ E[Y]=0; E[e^(s_n)]=0;E[e^(sum_(k=1)^nX_k)]=0 $
a questo punto ho standardizzato (Z è gaussiana standard(0,1)) e tolto la sommatoria.
$ E[e^(n(mu+sigmaZ))]=0;e^(nmu)E[e^(nsigmaZ)]=0 $
faccio la trasformata di Laplace per risolvere il val atteso ( $ E[e^(sigmaZ)]=e^(sigma^2/(2)) $ ) e ottengo quindi..
$ e^(nmu) e^((sigma^2n^2)/(2))=0; $
a questo punto non so come continuare per trovarmi $ mu $ e se ciò che ho fatto fino ad ora è giusto
Qualche idea o consiglio? Grazie buona serata.
Risposte
"FunkyGallo":
riporto il testo dell'esercizio: sia $ X_n $ una successione di v.c gaussiane $ X~ N(mu,sigma^2) $ e sia $ S_n=sum_(k=1)^nX_k $ con $ Y=e^(S_n) $
Si determini $ mu $ affinchè $ E[Y]=0 $
Premesso che sarebbe molto meglio dedicare più tempo a pensare che non a fare conti inutili[nota]...e sottolineo che mi riferisco al mio di tempo[/nota], avrei un paio di domande:
1) davvero le $n$ variabili $X_i$ non sono nemmeno indipendenti?
2) $Sn$ è evidentemente Gaussiana e quindi $Y=e^(S_n)$ è lognormale.... come fa ad avere media esattamente zero?
Grazie
allora sono partito in automatico senza vedere che era una lognormale. assolutamente le v.c sono iid
* L'esercizio l'ho settato male io: perchè viene chiesto di trovare $ mu $ affinchè $ Y=e^(S_n) $ sia una martingala.
*Martingala non è una parolaccia ma un concetto molto semplice: è una condizione matematica su cui si basa la condizione di non arbitraggio nei mercati finanziari, o più semplicemente è la condizione matematica alla base dei giochi equi (con valore atteso=0).
*In sostanza Martingala significa che se lancio una moneta 100 volte, il valore atteso di ciascuno di questi lanci(successione di v.c) dev'essere uguale a 0. e Per far si che questa successione di lanci di moneta sia una Martingala, $p$ deve essere $p=1/2$
* Giusto per essere completi sul concetto di MARTINGALA.. per dimostrare che Y=eSn sia una Martingala devono essere soddisfatti 3 requisiti:
1)$ E[e^(S_n)]<+infty $
2) $ E[e^(S_n)|F_k]=e^(S_k) $ dove $F_k$ non è nient'altro che l'informazione che io possiedo nell'istante $k$ ($k=5$? perfetto, so che nei primi 5 lanci di moneta ho ottenuto 3 teste e 2 croci.. e così via..)
3) il valore atteso di ogni v.c. di $S_n$ deve essere COSTANTE
Solitamente si lascia perdere la dimostrazione della 1), e si bisogna dimostrare 2) e 3).
Questi tipi di esercizi hanno consegne del tipo "dimostrare per quale valore del parametro $mu$ (oppure $p$ ecc..) che la successione di variabili casuali sia una Martingala"
a questo punto per dimostrare la 3)...
1) si setta il valore atteso uguale a zero (caso della MARTINGALA ADDITIVA), cosa che ho fatto io $ E[e^(S_n)]=0 $
oppure
2) si setta il vaore atteso uguale a 1 (caso della MARTINGALA MOLITPLICATIVA), $ E[e^(S_n)]=1 $ che dovrebbe essere plausibile considerando il fatto che $ E[e^(S_n)]=E[e^(\sum_{k=1}^nXk)]=E[e^(X_1)*e^(X_2)*...*e^(X_n)] $. (è qua che penso di aver sbagliato)
se risolvo impostando il valore atteso come una martingala moltiplicativa...
$ E[e^(S_n)]=1;E[e^(sum_(k=1)^nX_k)]=1;E[e^(n(mu+sigmaZ))]=1 $
$ e^(nmu)E[e^(nsigmaZ)]=1;e^(nmu)*e^((n^2sigma^2)/2)=1;nmu+(n^2sigma^2)/2=0; $
$ nmu=-(n^2sigma^2)/2; $
e trovo
$ mu=-(nsigma^2)/2 $
se sostituisco $mu$ nel valore attes.. ottengo $ E[e^(S_n)]=1 $. Sbaglio?
* L'esercizio l'ho settato male io: perchè viene chiesto di trovare $ mu $ affinchè $ Y=e^(S_n) $ sia una martingala.
*Martingala non è una parolaccia ma un concetto molto semplice: è una condizione matematica su cui si basa la condizione di non arbitraggio nei mercati finanziari, o più semplicemente è la condizione matematica alla base dei giochi equi (con valore atteso=0).
*In sostanza Martingala significa che se lancio una moneta 100 volte, il valore atteso di ciascuno di questi lanci(successione di v.c) dev'essere uguale a 0. e Per far si che questa successione di lanci di moneta sia una Martingala, $p$ deve essere $p=1/2$
* Giusto per essere completi sul concetto di MARTINGALA.. per dimostrare che Y=eSn sia una Martingala devono essere soddisfatti 3 requisiti:
1)$ E[e^(S_n)]<+infty $
2) $ E[e^(S_n)|F_k]=e^(S_k) $ dove $F_k$ non è nient'altro che l'informazione che io possiedo nell'istante $k$ ($k=5$? perfetto, so che nei primi 5 lanci di moneta ho ottenuto 3 teste e 2 croci.. e così via..)
3) il valore atteso di ogni v.c. di $S_n$ deve essere COSTANTE
Solitamente si lascia perdere la dimostrazione della 1), e si bisogna dimostrare 2) e 3).
Questi tipi di esercizi hanno consegne del tipo "dimostrare per quale valore del parametro $mu$ (oppure $p$ ecc..) che la successione di variabili casuali sia una Martingala"
a questo punto per dimostrare la 3)...
1) si setta il valore atteso uguale a zero (caso della MARTINGALA ADDITIVA), cosa che ho fatto io $ E[e^(S_n)]=0 $
oppure
2) si setta il vaore atteso uguale a 1 (caso della MARTINGALA MOLITPLICATIVA), $ E[e^(S_n)]=1 $ che dovrebbe essere plausibile considerando il fatto che $ E[e^(S_n)]=E[e^(\sum_{k=1}^nXk)]=E[e^(X_1)*e^(X_2)*...*e^(X_n)] $. (è qua che penso di aver sbagliato)
se risolvo impostando il valore atteso come una martingala moltiplicativa...
$ E[e^(S_n)]=1;E[e^(sum_(k=1)^nX_k)]=1;E[e^(n(mu+sigmaZ))]=1 $
$ e^(nmu)E[e^(nsigmaZ)]=1;e^(nmu)*e^((n^2sigma^2)/2)=1;nmu+(n^2sigma^2)/2=0; $
$ nmu=-(n^2sigma^2)/2; $
e trovo
$ mu=-(nsigma^2)/2 $
se sostituisco $mu$ nel valore attes.. ottengo $ E[e^(S_n)]=1 $. Sbaglio?
Quando si dice.. postare una traccia fedele all'originale in modo da non far perder tempo a chi si accinge a rispondere...
Cordiali saluti
Cordiali saluti
"tommik":
Quando si dice.. postare una traccia fedele all'originale in modo da non far perder tempo a chi si accinge a rispondere...
Cordiali saluti
Ho scritto l'esercizio cercando di renderlo accessibile a tutti e purtroppo ho omesso una parte fondamentale, mi rendo conto.
Volevo semplicemente sapere se l'esercizio così come lo avevo impostato era corretto.
Comunque bravo belle queste risposte ad effetto che dai. Sopratutto considerato il fatto che magari una persona ci mette 30 minuti a scrivere un post del genere e questo è periodo di esami. Se ti gratifica e ti realizza essere sempre scorbutico, buon per te. Ma almeno evita di prendere in giro!
"FunkyGallo":
Ho scritto l'esercizio cercando di renderlo accessibile a tutti e purtroppo ho omesso una parte fondamentale, mi rendo conto...Comunque bravo belle queste risposte ad effetto che dai. Sopratutto considerato il fatto che magari una persona ci mette 30 minuti a scrivere un post del genere e questo è periodo di esami. Se ti gratifica e ti realizza essere sempre scorbutico, buon per te. Ma almeno evita di prendere in giro!
Dunque @FunkyGallo, le cose stanno in questi termini:
Quando tu scrivi un esercizio male, incompleto, parzialmente inventato ecc ecc fai perdere tempo a chi si accinge a rispondere ed il tempo delle altre persone è tanto prezioso quanto il tuo....in realtà il tempo degli altri è più prezioso del tuo, dato che gli utenti che ti aiutano lo fanno gratis, per farti un favore ed oltretutto lavorano....quindi scrivere per bene il testo è una questione di rispetto verso gli altri.
Ciò premesso, hai espresso chiaramente il tuo pensiero; altrettanto chiaramente non riceverai più aiuti da parte mia, quindi non mi rimane che augurarti una buona permanenza nel forum
Ti chiedo cortesemente di evitare di rispondere a questo messaggio[nota]con questa mia replica entrambi abbiamo espresso la nostra opinione e quindi ritengo chiusa la questione off-topic. Eventuali altri commenti non inerenti all'argomento del titolo verranno censurati[/nota] se non per questioni inerenti all'argomento del topic.
addio
"FunkyGallo":
1)$ E[e^(S_n)]<+infty $
2) $ E[e^(S_n)|F_k]=e^(S_k) $ dove $F_k$ non è nient'altro che l'informazione che io possiedo nell'istante $k$ ($k=5$? perfetto, so che nei primi 5 lanci di moneta ho ottenuto 3 teste e 2 croci.. e così via..)
3) il valore atteso di ogni v.c. di $S_n$ deve essere costante
Questo non è corretto. La 3 è implicata dalla due: basta prendere la media a destra e sinistra nella due. Tuttavia, la martingala ha tre proprietà. Le prime due da te elencate e la misurabilitá della martingala rispetto alla filtrazione (si dice che il processo è adattato).
Comunque la soluzione è sbagliata perche $\mu$ ti viene dipemdente da $n$. Questo chiaramente non deve essere.
Sbagli quando introduci la variabile $Z$ nei calcoli. Prova a rivedere.
Infine ti preciso che, a voler essere rigorosi, dovresti dimostrare le tre proprietà sudette e non che la media sia costante in quanto in generale questa ècondizione necessaria ma non sufficiente.
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