Valore atteso prodotto var aleatorie non indipendenti

[pier_IP]

Ciao a tutti.
Problema 2 lanci di moneta. Siano 2 variabili aleatorie X = numero di teste e X2 = vale 1 se secondo lancio testa, vale 0 se secondo lancio croce
Calcolare il valore atteso $E [X \cdot X2] $
Io sono riuscito a calcolarmi facilmente il valore atteso di X e di X2 separatamente, ma visto che le due variabili non sono indipendenti, non posso applicare la proprietà $E[X\cdotY] = E[X]\cdotE[Y]$
Forse dovrei in qualche modo usare la probabilità condizionata, ma non so come.
Potete darmi qualche dritta?

[Luo1]

Non sono certo al 100% che sia la soluzione corretta, ma non potresti solo applicare il concetto di speranza matematica ? ovvero in questo caso la doppia sommatoria di $XY*f(x)*f(y)$ ? ripeto potrebbe essere una fesseria

[pier_IP]

La speranza matematica sarebbe il valore atteso, giusto?
Non ho capito in che modo dovrei applicarlo? Doppia sommatoria...

[pier_IP]

Grazie mille della risposta dettagliata

[Luo1]

"pier_IP":La speranza matematica sarebbe il valore atteso, giusto?
Non ho capito in che modo dovrei applicarlo? Doppia sommatoria...

La risposta è ormai inutile perchè sergio ha spiegato in maniera molto precisa e dettagliata la soluzione, che però era sostanzialmente la stessa, la doppia sommatoria della probabilità congiunta ( che io ho impropriamente chiamato f(x) * f(y), come se fossero delle pdf nonostante siano delle pmf, perdonami ).
La doppia sommatoria viene dalla speranza matematica, non dimenticarti che la media di X altri non è che la speranza matematica di X.
Ps. se studi da libri inglesi o con corsi inglese etc la speranza matematica la trovi come expected value, ma attento che tradurlo con valore atteso è un errore ( anche se molti lo fanno ), perchè il valore atteso è la media mentre la speranza matematica è una funzione lineare usata anche per la media ma per molto altro come ad esempio la mgf, solo la speranza di X è la media

[Luo1]

Per la prima parte hai assolutamente ragione, il fatto è che sono più un tipo pratico e quindi faccio poca attenzione alle diciture teoriche e questo è un mio limite, ma ti assicuro che intendevo la pmf congiunta, del resto è l'unica cosa sensata con una doppia sommatoria.
Per il secondo punto, partendo dal presupposto che ti riporto solo cose spiegatemi a lezione e parzialmente scritte nel mio libro ( e quindi comunque opinabili ), io so che il termine valore atteso in lingua italiana è sinonimo di E(x) ovvero speranza matematica di x che è diverso da speranza matematica in senso assoluto, poichè essa è una funzione che varia a seconda di ciò che calcoliamo.
Provo a chiarirmi meglio : se ti do una pdf e ti dico trova il valore atteso tu subito calcoli la media, se dico solo trova la speranza matematica in teoria non ha senso perchè devo anche dire di cosa, se dico trova la speranza matematica di x allora voglio la media; spero di essere stato chiaro

[pier_IP]

"Sergio":
Chiedo io perdono a te, ma direi che \(f(x,y)=f(x)f(y)\) solo se \(X\) e \(Y\) sono indipendenti. In realtà (intendendo le \(f\) come pmf) io ho usato \(f(x,y)=f(x)f(y\mid x)\) - anche se, data la semplicità dei calcoli, non mi sono messo a formalizzare.

Questa \(f(x,y)=f(x)f(y\mid x)\) vuol dire questa $ P(X\capY) = P(X)P(Y|X) $ giusto? Quindi è la probabilità condizionata che hai usato per popolare la tabella?
Scusatemi, lo so che questo esercizio è la base, solo che l'applicazione pratica di queste formule non mi è stato spiegato per niente.

[pier_IP]

Tutto chiaro. Ti ringrazio ancora