Valore atteso: non riesco a capire un passaggio della soluzione di un esercizio
Salve ragazzi avrei bisogno di capire un passaggio di una soluzione. So che può essere molto banale ma proprio non riesco a capire.
La traccia è la seguente:
Una scatola contiene 100 monete con due facce, testa e croce. Tra queste, 10 monete sono truccate, e fanno uscire testa con probabilità $2/3$. Le restanti 90 monete sono equilibrate. Si prende una moneta a caso e la si lancia 1000 volte.
Sia $N$ la variabile aleatoria che da il numero di teste ottenute nell'esperimento sopra. Quanto vale l'attesa $E[N]$?
La soluzione del mio prof è la seguente:
Siano $H_1 = "la moneta è equilibrata"$ e $H_2 = "La moneta è truccata"$. Si ha che $P(H_1) = 9/10$ e $P(H_2) = 1/10$.
Sia T = "La moneta da testa"
Dalla traccia sappiamo che $P(T|H_1) = 1/2 = p_1$ e $P(T|H_2) = 2/3 = p_2$.
Sia $N = 1000$ (lanci della moneta).
La risposta alla domanda è quindi:
$E[N] = \sum_{i=0}^1000 [i*P(N=i)] = $
$E[N] = \sum_{i=0}^1000 [i*P(N = i | H_1)*P(H_1)] + \sum_{i=0}^1000 [i*P(N= i | H_2)*P(H_2)] = $
$E[N] = P(H1) * N * p_1 + P(H2)*N*p_2 = 9/10 * 1000*1/2+ 1/10*1000*2/3 = 516.6$
Non mi è per niente chiaro come quel $i$ che sarebbe il peso per il calcolo della media possa essere considerato come $N = 1000$ nel momento in cui si toglie il simbolo di sommatoria. Considerando che il mio prof sbaglia MOLTE volte, vi chiedo: è giusto? Se si, che proprietà della sommatoria ha utilizzato?
Sarebbe come dire che $\sum_{i=0}^1000 i = 1000$ ma non mi risulta che sia vero.
La traccia è la seguente:
Una scatola contiene 100 monete con due facce, testa e croce. Tra queste, 10 monete sono truccate, e fanno uscire testa con probabilità $2/3$. Le restanti 90 monete sono equilibrate. Si prende una moneta a caso e la si lancia 1000 volte.
Sia $N$ la variabile aleatoria che da il numero di teste ottenute nell'esperimento sopra. Quanto vale l'attesa $E[N]$?
La soluzione del mio prof è la seguente:
Siano $H_1 = "la moneta è equilibrata"$ e $H_2 = "La moneta è truccata"$. Si ha che $P(H_1) = 9/10$ e $P(H_2) = 1/10$.
Sia T = "La moneta da testa"
Dalla traccia sappiamo che $P(T|H_1) = 1/2 = p_1$ e $P(T|H_2) = 2/3 = p_2$.
Sia $N = 1000$ (lanci della moneta).
La risposta alla domanda è quindi:
$E[N] = \sum_{i=0}^1000 [i*P(N=i)] = $
$E[N] = \sum_{i=0}^1000 [i*P(N = i | H_1)*P(H_1)] + \sum_{i=0}^1000 [i*P(N= i | H_2)*P(H_2)] = $
$E[N] = P(H1) * N * p_1 + P(H2)*N*p_2 = 9/10 * 1000*1/2+ 1/10*1000*2/3 = 516.6$
Non mi è per niente chiaro come quel $i$ che sarebbe il peso per il calcolo della media possa essere considerato come $N = 1000$ nel momento in cui si toglie il simbolo di sommatoria. Considerando che il mio prof sbaglia MOLTE volte, vi chiedo: è giusto? Se si, che proprietà della sommatoria ha utilizzato?
Sarebbe come dire che $\sum_{i=0}^1000 i = 1000$ ma non mi risulta che sia vero.
Risposte
"s.capone7":
$E[N] = \sum_{i=0}^1000 [i*P(N = i | H_1)*P(H_1)] + \sum_{i=0}^1000 [i*P(N= i | H_2)*P(H_2)] = $
È la formula per la media di una distribuzione binomiale, due volte. Ma è superflua. Qualsiasi persona normale scriverebbe $0,9 \times 0,5 \times 1000 + 0,1 \times \frac{2}{3} \times 1000$ e basta.
"ghira":
[quote="s.capone7"]
$E[N] = \sum_{i=0}^1000 [i*P(N = i | H_1)*P(H_1)] + \sum_{i=0}^1000 [i*P(N= i | H_2)*P(H_2)] = $
È la formula per la media di una distribuzione binomiale, due volte. Ma è superflua. Qualsiasi persona normale scriverebbe $0,9 \times 0,5 \times 1000 + 0,1 \times \frac{2}{3} \times 1000$ e basta.[/quote]
Grazie mille!!
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