Valore atteso in una trasformazione lineare con distribuzione di Rayleigh

[The_Rovs]

Salve a tutti,
Continuo ad avere dubbi sulle trasformazioni di una variabile aleatoria.
L'esercizio che vi propongo oggi è il seguente:
"Data la variabile aleatoria di Rayleigh con densità di probabilità
$ f_x(x)= xe^(-(x^2)/2)U_(0;+oo) (x) $
Si consideri la trasformazione
$ { ( 0 perX<=0 ),( 2X per 01 ):} $
Mi viene chiesto di calcolare la funzione di distribuzione e di densità con relativi grafici e fin qui non ci sono troppi problemi
È una trasformazione lineare semplice con pendenza positiva
$ P(Y<=y) = P(X<=x_y) = P(X<=y/2) = F_x(y/2) = 1-e^(-y^2/8) $ per $ 0 mentre vale 0 per $y<=0 $ e 1 per y>2
per quanto riguarda la funzione di densità semplicemente derivando ottengo che è $ { ( y/4 e^-(y^2/8) per 0 Il motivo del post comunque è principalmente un altro, ma che immagino legato ai dubbi di cui sopra. Al punto successivo mi viene chiesto di calcolare il valore atteso E[Y].
Io avevo pensato semplicemente di svolgere l'integrale $ int_(0)^(2) y^2/4 e^(-y^2/8) dy $ , ma il risultato è sbagliato quindi devo aver trascurato indubbiamente qualcosa.
Chi può aiutarmi?

[Lo_zio_Tom]

alla media così calcolata devi aggiungere $+2 e^(-1/2) $

Hai trascurato il fatto che la funzione, come nell'esercizio di ieri, non è continua. La pdf in $Y=2$ vale $ e^(-1/2) $ e quindi la cdf ha un salto in $ Y=2$

Il resto è più o meno giusto. La cdf non ti viene continua, infatti $ F (2^- )=1-e^(-1/2) $ mentre $ F (2)=1$



....ed è giusto così. ...come hai intuito, devi solo aggiungere $ f (y)=e^(-1/2) $ quando y=2


$f_(Y)(y)-={{: ( y/4e^(-y^2/8) , 0
ovvero questa:




PS: questa non è una trasformazione lineare.....


spero che ora sia tutto chiaro