Valore atteso fitness evolutiva
Ciao, amici! In un testo divulgativo che tratta tra le altre cose di dinamica delle popolazioni, trovo un argomento che non mi è chiaro. In una popolazione di animali ci siano due tipi di individui, uno di esemplari dal comportamento agressivo, chiamati falchi, e uno dal comportamento mite, chiamati colombe. Sia assegnato un punteggio, rappresentante una misura della fitness evolutiva, di 50 punti per una vittoria, 0 per una sconfitta, -100 per una ferita grave e -10 per la perdita di tempo conseguente ad un lungo scontro. In uno scontro tra due individui si possono presentare i seguenti casi:
-una colomba affronta una colomba, vincendo, ma sprecando tempo a causa della ritualità dello scontro, nella metà dei casi, totalizzando 50 - 10 = 40 punti, e perdendo nell'altra metà, totalizzando -10 punti a causa sempre della perdita di tempo dovuta alla cerimonialità tipica dei conflitti tra colombe;
-un falco affronta un falco, vincendo velocemente nella metà dei casi, totalizzando 50 punti, e perdendo e rimanendo ferito gravemente nell'altra metà, totalizzando -100 punti;
-un falco affronta una colomba, vincendo senza perdere tempo ogni volta, totalizzando 50 punti, mentre la colomba perde sempre velocemente, totalizzando 0 punti.
Il testo dice che si ha una situazione di equilibrio stabile quando il risultato medio dei falchi è uguale al risultato medio delle colombe, cioè quando i falchi sono $7/12$ e le colombe $5/12$ della popolazione in esame. Anche se il testo non entra nei dettagli matematici, ciè corrisponde con quello che ho calcolato io:
chiamati $X_C$ il punteggio delle colombe e $X_F$ quello dei falchi e $p_C$ e $p_F=1-p_C$ le frazioni di essi della popolazione, direi che la speranza matematica del punteggio delle colombe sia \[E[X_C]=40\cdot\frac{1}{2}p_C-10\cdot\frac{1}{2}p_C=15 p_C\] e quella dei falchi\[E[X_F]=50\cdot 1 p_C+50\cdot\frac{1}{2}p_F-100\cdot\frac{1}{2}p_F=75 p_C-25\]e si ha quindi che \[E[X_C]=E[X_F]\iff p_c=\frac{5}{12}\iff p_F=\frac{7}{12}\]in concordanza con quello che dice il libro. Sempre in concordanza con ciò che dice il testo, mi risulta, con tale espressione del valore atteso, che, in questa situazione di equilibrio, si ha \(E[X_C]=E[X_F]=6.25\).
Tuttavia il libro continua dicendo che, se la popolazione consistesse di $1/6$ di falchi e $5/6$ di colombe, il risultato medio per contesa sarebbe di $16+2/3$. Suppongo che il risultato medio per contesa sia $E[(X_C+X_F)/2]$, ma tale valore dalla mia formula per \(E[X_C]\) ed \(E[X_F]\) risulterebbe essere di 25.
Qualcuno ci capisce qualcosa?
$\infty$ grazie a tutti!!!
-una colomba affronta una colomba, vincendo, ma sprecando tempo a causa della ritualità dello scontro, nella metà dei casi, totalizzando 50 - 10 = 40 punti, e perdendo nell'altra metà, totalizzando -10 punti a causa sempre della perdita di tempo dovuta alla cerimonialità tipica dei conflitti tra colombe;
-un falco affronta un falco, vincendo velocemente nella metà dei casi, totalizzando 50 punti, e perdendo e rimanendo ferito gravemente nell'altra metà, totalizzando -100 punti;
-un falco affronta una colomba, vincendo senza perdere tempo ogni volta, totalizzando 50 punti, mentre la colomba perde sempre velocemente, totalizzando 0 punti.
Il testo dice che si ha una situazione di equilibrio stabile quando il risultato medio dei falchi è uguale al risultato medio delle colombe, cioè quando i falchi sono $7/12$ e le colombe $5/12$ della popolazione in esame. Anche se il testo non entra nei dettagli matematici, ciè corrisponde con quello che ho calcolato io:
chiamati $X_C$ il punteggio delle colombe e $X_F$ quello dei falchi e $p_C$ e $p_F=1-p_C$ le frazioni di essi della popolazione, direi che la speranza matematica del punteggio delle colombe sia \[E[X_C]=40\cdot\frac{1}{2}p_C-10\cdot\frac{1}{2}p_C=15 p_C\] e quella dei falchi\[E[X_F]=50\cdot 1 p_C+50\cdot\frac{1}{2}p_F-100\cdot\frac{1}{2}p_F=75 p_C-25\]e si ha quindi che \[E[X_C]=E[X_F]\iff p_c=\frac{5}{12}\iff p_F=\frac{7}{12}\]in concordanza con quello che dice il libro. Sempre in concordanza con ciò che dice il testo, mi risulta, con tale espressione del valore atteso, che, in questa situazione di equilibrio, si ha \(E[X_C]=E[X_F]=6.25\).
Tuttavia il libro continua dicendo che, se la popolazione consistesse di $1/6$ di falchi e $5/6$ di colombe, il risultato medio per contesa sarebbe di $16+2/3$. Suppongo che il risultato medio per contesa sia $E[(X_C+X_F)/2]$, ma tale valore dalla mia formula per \(E[X_C]\) ed \(E[X_F]\) risulterebbe essere di 25.
Qualcuno ci capisce qualcosa?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
la formula scritta da te ($E[(X_C+X_F)/2]$) non ha significato.
il risultato del libro si ottiene, secondo quello che hai scritto in precedenza, da $E[X_C]*p_C+E[X_F]*p_F$
infatti si ha $15*5/6*5/6+(75*5/6-25)*1/6=100/6=16+2/3$
a parte le notazioni (la media di una variabile aleatoria è data da una somma di più prodotti tra i valori che la variabile può assumere e le rispettive probabilità), una cosa come quella che ti ho segnalato mi lascia pensare al caso in cui i numeri di falchi e di colombe siano uguali.
ciao, spero sia chiaro.
il risultato del libro si ottiene, secondo quello che hai scritto in precedenza, da $E[X_C]*p_C+E[X_F]*p_F$
infatti si ha $15*5/6*5/6+(75*5/6-25)*1/6=100/6=16+2/3$
a parte le notazioni (la media di una variabile aleatoria è data da una somma di più prodotti tra i valori che la variabile può assumere e le rispettive probabilità), una cosa come quella che ti ho segnalato mi lascia pensare al caso in cui i numeri di falchi e di colombe siano uguali.
ciao, spero sia chiaro.
"adaBTTLS":Ah ah, è vero: che scemo a non averci pensato prima!
si ottiene, secondo quello che hai scritto in precedenza, da $ E[X_C]*p_C+E[X_F]*p_F $
Oltretutto questo, come verifico osservando l'annullarsi della derivata di \(f(p_C)=p_CE[X_C]+(1-p_C)E[X_F]\), è in concordanza con l'affermazione del libro che il successo maggiore della popolazione si ha quando le colombe sono i $5/6$ e i falchi $1/6$."adaBTTLS":Questo non lo capisco: perché?
la formula scritta da te ($ E[(X_C+X_F)/2] $) non ha significato.
Non possiamo quindi scrivere \(E[p_C X_C+p_F X_F]\) per indicare ciò che il libro chiama risultato medio per contesa?
$\infty$ grazie!!!
prego!
... intendo che $E(X)$ è il simbolo che si usa per media della variabile $X$, dunque, letta così, $E[(X_C+X_F)/2]$ è la media della variabile "media aritmetica di $X_C$ e $X_F$", mentre $p_CX_C+p_FX_F$ è già l'espressione di una media, per cui $E(p_CX_C+p_FX_F)$ sarebbe la media di una media, sempre per una questione di notazioni.
OK?
ciao
... intendo che $E(X)$ è il simbolo che si usa per media della variabile $X$, dunque, letta così, $E[(X_C+X_F)/2]$ è la media della variabile "media aritmetica di $X_C$ e $X_F$", mentre $p_CX_C+p_FX_F$ è già l'espressione di una media, per cui $E(p_CX_C+p_FX_F)$ sarebbe la media di una media, sempre per una questione di notazioni.
OK?
ciao
Sì, sì, chiaro. Grazie ancora!!!!!
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