Valore atteso di $X^n$ conoscendo $F_X$
Salve a tutti, sto affrontando un problema in cui devo calcolare $\mathbb{E}[X^2]$. Mi tornerebbe comodo avere una formula diretta che sfrutta CDF e che non passa per la PDF.
Sono a conoscenza del seguente risultato (che per quanto mi risulta, è indicato come formula di Cavalieri).
$$\mathbb{E}[X]=\int_0^\infty (1-F_X (t)) \text{ d}t-\int_{-\infty}^0 F_X (t)\text{ d}t$$
dove $F_X (t)$ è la CDF di $X$, supposta sommabile (in modo da escludere le forme indeterminate $\infty-infty$,$-\infty+infty$ ).
Cercando in rete ho trovato la seguente generalizzazione
$$\mathbb{E}[X^n]=n\int_0^\infty t^{n-1}(1-F_X (t)) \text{ d}t-n\int_{-\infty}^0 t^{n-1} F_X (t)\text{ d}t$$
che fa proprio a caso mio. Mi piacerebbe trovare una dimostrazione della formula, per questo motivo ho aperto il thread.
Ho tentato, senza successo, di mostrare la seguente uguaglianza
$$n\int_0^\infty t^{n-1}(1-F_X (t)) \text{ d}t-n\int_{-\infty}^0 t^{n-1} F_X (t)\text{ d}t=\int_\mathbb{R} t^n f_X (t) \text{ d}t$$
dove $f_X (t)$ è la PDF di $X$, i.e.
$$f_X (t)=\frac{\text{d}F_X}{\text{d}t}(t)$$
Probabilmente l'approccio che ho seguito non è il migliore.
Sono a conoscenza del seguente risultato (che per quanto mi risulta, è indicato come formula di Cavalieri).
$$\mathbb{E}[X]=\int_0^\infty (1-F_X (t)) \text{ d}t-\int_{-\infty}^0 F_X (t)\text{ d}t$$
dove $F_X (t)$ è la CDF di $X$, supposta sommabile (in modo da escludere le forme indeterminate $\infty-infty$,$-\infty+infty$ ).
Cercando in rete ho trovato la seguente generalizzazione
$$\mathbb{E}[X^n]=n\int_0^\infty t^{n-1}(1-F_X (t)) \text{ d}t-n\int_{-\infty}^0 t^{n-1} F_X (t)\text{ d}t$$
che fa proprio a caso mio. Mi piacerebbe trovare una dimostrazione della formula, per questo motivo ho aperto il thread.
Ho tentato, senza successo, di mostrare la seguente uguaglianza
$$n\int_0^\infty t^{n-1}(1-F_X (t)) \text{ d}t-n\int_{-\infty}^0 t^{n-1} F_X (t)\text{ d}t=\int_\mathbb{R} t^n f_X (t) \text{ d}t$$
dove $f_X (t)$ è la PDF di $X$, i.e.
$$f_X (t)=\frac{\text{d}F_X}{\text{d}t}(t)$$
Probabilmente l'approccio che ho seguito non è il migliore.
Risposte
ti metto sulla via
Prendi uno dei due integrali
$nint_0^(+oo)t^(n-1)(1-F(t))dt$
Risolvi per parti...
$t^n(1-F)]_0^(+oo)+int_0^(+oo)t^nf(t)dt$
Il primo termine tende a zero (al limite)
Fai la stessa cosa con l'altro integrale ed hai finito
Prendi uno dei due integrali
$nint_0^(+oo)t^(n-1)(1-F(t))dt$
Risolvi per parti...
$t^n(1-F)]_0^(+oo)+int_0^(+oo)t^nf(t)dt$
Il primo termine tende a zero (al limite)
Fai la stessa cosa con l'altro integrale ed hai finito
Risolvi per parti...
Sì, mi sembra che funzioni, grazie per la dritta. Inoltre credo che i vari limiti siano immediati, grazie alle proprietà delle CDF:
$$F(\infty)=1 \qquad F(-\infty)=0$$
I limiti sono indeterminati del tipo $oo*0$...
Giusto, hai ragione.
Domani provo ad affrontare i casi n=1 ed n=2, e se va bene provo anche con il caso generale.
Ciao e grazie ancora per l'aiuto
Domani provo ad affrontare i casi n=1 ed n=2, e se va bene provo anche con il caso generale.
Ciao e grazie ancora per l'aiuto
non servono conti....il risultato è banalmente zero
ES:
$lim_(xrarr-oo)x^n/(1/F)=oo/oo$
applicando l'hopital vedi che $x^n$ diminuisce sempre di grado mentre $F$ aumenta facendo tendere il limite a zero.
E questa è l'interpretazione geometrica della media
ES:
$lim_(xrarr-oo)x^n/(1/F)=oo/oo$
applicando l'hopital vedi che $x^n$ diminuisce sempre di grado mentre $F$ aumenta facendo tendere il limite a zero.
E questa è l'interpretazione geometrica della media
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