Valore atteso di una normale

[joiadc]

Non posso credere di essermi impantanata su un esercizio del genere!!!

Ho una variabile casuale X normale di media \(\displaystyle \theta \) e varianza 1.
La distribuzione a priori sul parametro \(\displaystyle \theta \) è costante \(\displaystyle \pi (\theta)=1 \).
La distribuzione a posteriori quindi è sempre una normale con media \(\displaystyle \overline{x} \) e varianza \(\displaystyle 1/n \).
E fin qui..
Mi chiede di calcolare il valore atteso della distribuzione a posteriori rispetto alla variabile \(\displaystyle \exp (c\theta) \)...
Quindi ho provato a calcolare: \(\displaystyle \lmoustache \exp (c\theta) \exp(- (\theta - \overline{x})^2 /2) d\theta \) ma non riesco proprio a capire perchè il risultato debba essere:
\(\displaystyle \exp(c \overline{x} + {c^2}/2n) \)

Spero possiate aiutarmi!

Grazie!

[Andrea2976]

Il problema è che non riesci a calcolare l'integrale?

Integrali di questo tipo si risolvono completando il quadrato rispetto alla variabile di integrazione (cioè somma e sottrai gli addendi che ti servono).
Nel tuo caso è assimilabile ad una trasformata di Laplace rispetto a $\theta$ di una variabile aleatoria normale, penso che tu lo possa trovare su qualsiasi libro di analisi o probabilità.