Valore atteso di prodotto di v.a.
Ho due variabili aleatorie $X1$ e $X2$, con distribuzione di Bernoulli di parametro $p in [0,1]$, quindi possono assumere o il valore 0 o il valore 1. Nella soluzione dell'esericzio, il professore da per scontato la seguente eguaglianza:
$E[X1*X2]=P(X1=1,X2=1)$ dove la virgola nel secondo membro indica l'intersezione degli eventi. Come mai vale?? In realtà non ho ben capito cos'è questo tipo di prodotto di variabili aleatorie... Grazie per l'aiuto!!
$E[X1*X2]=P(X1=1,X2=1)$ dove la virgola nel secondo membro indica l'intersezione degli eventi. Come mai vale?? In realtà non ho ben capito cos'è questo tipo di prodotto di variabili aleatorie... Grazie per l'aiuto!!
Risposte
Dunque, il prodotto di variabili aleatore in generale è una variabile aleatora. Cerchiamo di capire in questo caso cosa succede.
Hai due v.a. $X_1$ $X_2$ di Bernulli di parametro $p \in [0,1]$, quindi che possono assumere solo valori $0$ e $1$ con probabilità:
$P(X_1 = 1) = p$ e $P(X_1 = 0) = 1-p$
$P(X_2 = 1) = p$ e $P(X_2 = 0) = 1-p$.
Definiamo la v.a. prodotto: $Y = X_1 X_2$. Quello che bisogna capire è: a) che valori assume $Y$? b) con quali probabilità?
Vediamo:
a) Chiaramente, poiché $X_1$ e $X_2$ assumono solo $0$ e $1$, facendo il prodotto nei 4 casi si vede subito che anche $Y$ assume come valori solo $0$ e $1$.
b) Per capire con quali probabilità, concetto chiave è l'indipendenza tra $X_1$ e $X_2$ (che non hai scritto come ipotesi, ma immagino sia vero), che spero tu abbia studiato, e che molto grossolanamente si può riassumere in "se lancio $X_1$ e $X_2$, quello che esce in una non dipende da quello che è uscito nell'altra", in formule:
$P(X_1 = k, X_2 = h) = P(X_1 = k) * P(X_2 =h)$ per ogni $h,k$ nell'insieme dei valori assunti. Vale a dire, che la probabilità che $X_1=k$ e (la virgola) che $X_2=h$ contemporaneamente si spezza nel prodotto delle probabilità singole.
Qui, quando $Y=1$? Solo se $X_1=1$ e $X_2=1$ (*). E con quale probabilità? Usando l'indipendenza,
$P(Y=1)=P(X_1=1,X_2=1) = P(X_1=1)P(X_2=1) = p * p = p^2$, da cui si ricava facilmente che
$P(Y=0) = 1 - P(Y=1) = 1-p^2$.
Ora abbiamo trovato tutto sulla v.a. $Y$: assume valore $1$ con probabilità $p^2$, e valore $0$ con probabilità $1-p^2$. Notando che anche $p^2 \in [0,1]$, ne concludiamo che $Y$ è una Bernulli di parametro $p^2$.
Per trovare infine la media di $Y$, Ricordando la definizione di media "la somma (al variare dei valori assunti dalla v.a.) tra: valori assunti dalla v.a. per la probabilità di assumerli", otteniamo subito:
$E[Y] = 0 * P(Y=0) + 1 * P(Y=1) = 0 + P(Y=1) = p^2$. (**)
Questo è il procedimento nel dettaglio. Nella soluzione del tuo professore, lui usa contemporaneamente (*) e (**):
$E[X_1X_2] = E[Y] = 0 * P(Y=0) + 1 * P(Y=1) = 0 + P(Y=1) =$
$=P(X_1=1,X_2=1) = P(X_1=1)P(X_2=1) = p * p = p^2$.
Spero di essermi spiegato
se hai domande chiedi pure, ciao.
Hai due v.a. $X_1$ $X_2$ di Bernulli di parametro $p \in [0,1]$, quindi che possono assumere solo valori $0$ e $1$ con probabilità:
$P(X_1 = 1) = p$ e $P(X_1 = 0) = 1-p$
$P(X_2 = 1) = p$ e $P(X_2 = 0) = 1-p$.
Definiamo la v.a. prodotto: $Y = X_1 X_2$. Quello che bisogna capire è: a) che valori assume $Y$? b) con quali probabilità?
Vediamo:
a) Chiaramente, poiché $X_1$ e $X_2$ assumono solo $0$ e $1$, facendo il prodotto nei 4 casi si vede subito che anche $Y$ assume come valori solo $0$ e $1$.
b) Per capire con quali probabilità, concetto chiave è l'indipendenza tra $X_1$ e $X_2$ (che non hai scritto come ipotesi, ma immagino sia vero), che spero tu abbia studiato, e che molto grossolanamente si può riassumere in "se lancio $X_1$ e $X_2$, quello che esce in una non dipende da quello che è uscito nell'altra", in formule:
$P(X_1 = k, X_2 = h) = P(X_1 = k) * P(X_2 =h)$ per ogni $h,k$ nell'insieme dei valori assunti. Vale a dire, che la probabilità che $X_1=k$ e (la virgola) che $X_2=h$ contemporaneamente si spezza nel prodotto delle probabilità singole.
Qui, quando $Y=1$? Solo se $X_1=1$ e $X_2=1$ (*). E con quale probabilità? Usando l'indipendenza,
$P(Y=1)=P(X_1=1,X_2=1) = P(X_1=1)P(X_2=1) = p * p = p^2$, da cui si ricava facilmente che
$P(Y=0) = 1 - P(Y=1) = 1-p^2$.
Ora abbiamo trovato tutto sulla v.a. $Y$: assume valore $1$ con probabilità $p^2$, e valore $0$ con probabilità $1-p^2$. Notando che anche $p^2 \in [0,1]$, ne concludiamo che $Y$ è una Bernulli di parametro $p^2$.
Per trovare infine la media di $Y$, Ricordando la definizione di media "la somma (al variare dei valori assunti dalla v.a.) tra: valori assunti dalla v.a. per la probabilità di assumerli", otteniamo subito:
$E[Y] = 0 * P(Y=0) + 1 * P(Y=1) = 0 + P(Y=1) = p^2$. (**)
Questo è il procedimento nel dettaglio. Nella soluzione del tuo professore, lui usa contemporaneamente (*) e (**):
$E[X_1X_2] = E[Y] = 0 * P(Y=0) + 1 * P(Y=1) = 0 + P(Y=1) =$
$=P(X_1=1,X_2=1) = P(X_1=1)P(X_2=1) = p * p = p^2$.
Spero di essermi spiegato
se hai domande chiedi pure, ciao.
Vediamo se ci riusciamo senza scomodare l'indipendenza:
$E[X_1X_2]=E[\phi(X_1,X_2)]=\sum_{x_i,y_j}\phi(x_i,y_j)P\{X_1=x_i,X_2=y_j\}=\sum_{x_i,y_j}x_i\cdot y_jP\{X_1=x_i,X_2=y_j\}$
dove $\phi(x,y)=x\cdot y$ e $x_i$ e $y_j$ sono i valori che prendono $X_1$ e $X_2$, cioè 0 e 1. Il secondo $=$ discende dalla formula di integrazione rispetto alla misura immagine.
Ora, di tutti gli addendi della sommatoria, solo quello per $x_i=y_j=1$ è diverso da 0 e si ottiene l'eguaglianza del prof. (senza usare l'indipendenza, mi pare).
Se servono chiarimenti sui passaggi chiedi pure.
$E[X_1X_2]=E[\phi(X_1,X_2)]=\sum_{x_i,y_j}\phi(x_i,y_j)P\{X_1=x_i,X_2=y_j\}=\sum_{x_i,y_j}x_i\cdot y_jP\{X_1=x_i,X_2=y_j\}$
dove $\phi(x,y)=x\cdot y$ e $x_i$ e $y_j$ sono i valori che prendono $X_1$ e $X_2$, cioè 0 e 1. Il secondo $=$ discende dalla formula di integrazione rispetto alla misura immagine.
Ora, di tutti gli addendi della sommatoria, solo quello per $x_i=y_j=1$ è diverso da 0 e si ottiene l'eguaglianza del prof. (senza usare l'indipendenza, mi pare).
Se servono chiarimenti sui passaggi chiedi pure.
Grazie ad entrambi per la risposta!! In realtà nell'esercizio che ci aveva proposto il professore, dovevo dimostrare che se le due variabili aleatorie $X1$ e $X2$ sono incorrelate (ovvero hanno covarianza nulla), allora sono indipendenti... quindi dovevo proprio dimostrare l'indipendenza e non potevo usarla! Grazie ancora
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo