Valore atteso della massima verosimiglianza
Buonasera, non ho ben capito come svolgere l'esercizio seguente:
Sia Z1,Z2,...,Zn un campione casuale proveniente dalla v.c. Z avente distribuzione Esponenziale Negativa con fdp:
$ f(theta,y)=theta*e^(-thetay) $
1)Si determini lo stimatore di massima verosimiglianza di E[Z].
Francamente non riesco a capire come svolgere l'esercizio, lo stimatore di massima verosimiglianza lo so trovare facilmente per i parametri, ma qui ho davvero troppi dubbi.
Un mio tentativo possibile sarebbe quello di calcolare la statistica score, $U(theta,y)=n/theta-sumz $ e successivamente, dato che il valore atteso di una esponenziale negativa è $1/lamda$, avrei messo in evidenza la funzione score per $ 1/theta$ ottenendo dunque $1/theta=(sumz)/n $ .
Sia Z1,Z2,...,Zn un campione casuale proveniente dalla v.c. Z avente distribuzione Esponenziale Negativa con fdp:
$ f(theta,y)=theta*e^(-thetay) $
1)Si determini lo stimatore di massima verosimiglianza di E[Z].
Francamente non riesco a capire come svolgere l'esercizio, lo stimatore di massima verosimiglianza lo so trovare facilmente per i parametri, ma qui ho davvero troppi dubbi.
Un mio tentativo possibile sarebbe quello di calcolare la statistica score, $U(theta,y)=n/theta-sumz $ e successivamente, dato che il valore atteso di una esponenziale negativa è $1/lamda$, avrei messo in evidenza la funzione score per $ 1/theta$ ottenendo dunque $1/theta=(sumz)/n $ .
Risposte
a parte il fatto che hai fatto un po' di confusione con la traccia, se il campione casuale semplice è $Z_1,...,Z_n$ allora la densità sarà $f(theta,z)$, il risultato è giusto e basta applicare una nota proprietà degli stimatori Mv: la proprietà di invarianza.
Quindi prima calcoli lo stimatore di MV per il parametro $theta$ ottenendo $hat(theta)=1/bar(z)$ e successivamente, dato che
$mathbb{E}[Z]=1/theta$ trovi che $mathbb{E}[Z]=bar(z)$
del resto è anche naturale pensare che lo stimatore della media della popolazione sia la media campionaria...non trovi?
Comunque alla pagina 284 del MGB che dovresti avere anche tu, leggi quanto segue:
...alla pagina successiva trovi anche l'estensione di tale teorema a funzioni non invertibili
Se $hat(theta)_(MV)$ è lo stimatore di MV per $theta$ allora $g(hat(theta)_(MV))$ è lo stimatore di massima verosimiglianza di $g(theta)$
Quindi prima calcoli lo stimatore di MV per il parametro $theta$ ottenendo $hat(theta)=1/bar(z)$ e successivamente, dato che
$mathbb{E}[Z]=1/theta$ trovi che $mathbb{E}[Z]=bar(z)$
del resto è anche naturale pensare che lo stimatore della media della popolazione sia la media campionaria...non trovi?
Comunque alla pagina 284 del MGB che dovresti avere anche tu, leggi quanto segue:
...alla pagina successiva trovi anche l'estensione di tale teorema a funzioni non invertibili
Perfetto, ho capito tutto quanto, grazie mille per il tuo aiuto!
Comunque sto utilizzando per ora la versione italiana del MGB, l'ho trovato a 9 euro "usato" , però quando non capisco qualcosa controllo sempre la versione originale per vedere se ci sono errori di stampa o robe simili , ti ringrazio davvero tanto per avermelo consigliato, l'ho trovato utilissimo e in vista dell'esame di martedì mi sembra di essere ben preparato(anche se sto finendo di risolvere qualche piccolo dubbio come questo), speriamo bene!
Comunque sto utilizzando per ora la versione italiana del MGB, l'ho trovato a 9 euro "usato" , però quando non capisco qualcosa controllo sempre la versione originale per vedere se ci sono errori di stampa o robe simili , ti ringrazio davvero tanto per avermelo consigliato, l'ho trovato utilissimo e in vista dell'esame di martedì mi sembra di essere ben preparato(anche se sto finendo di risolvere qualche piccolo dubbio come questo), speriamo bene!
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