Valore atteso condizionato e v.a.esponenziali
Ciao a tutti!
Nuovo quesito in merito al valore atteso condizionato.
Devo dimostrare che
\[ \mathbb{E}[Z|X]=\frac{1}{\alpha} (1-e^{-\alpha X}) \]
ove $X, Y$ variabili aleatorie esponenziali a parametro $\alpha$ e $Z:=min{X,Y}$.
Per incominciare ho dimostrato che $\mathbb{E}[Z|X]$ è $\sigma(Z)$-misurabile (e fin qui non ci sono problemi).
Ora devo dimostrare che $\int_A \mathbb{E}[Z|X] d\mathbb{P} = \int_A Z d\mathbb{P} \qquad \forall A \in \sigma(Z) $.
So che $Z$ è un'esponenziale a parametro $2\alpha$ ed ora?
In realtà avrei una anche un'altra domanda (chiedo anticipatamente scusa nel caso fosse una colossale stupidata): è vero che $(1-e^{-\alpha X})=\mathbb{P}(X<=X) $? Nel qual caso, sarebbe allora: $\int_A (1-e^{-\alpha X}) d\mathbb{P}=\mathbb{P}(A)$?
Grazie!
Nuovo quesito in merito al valore atteso condizionato.
Devo dimostrare che
\[ \mathbb{E}[Z|X]=\frac{1}{\alpha} (1-e^{-\alpha X}) \]
ove $X, Y$ variabili aleatorie esponenziali a parametro $\alpha$ e $Z:=min{X,Y}$.
Per incominciare ho dimostrato che $\mathbb{E}[Z|X]$ è $\sigma(Z)$-misurabile (e fin qui non ci sono problemi).
Ora devo dimostrare che $\int_A \mathbb{E}[Z|X] d\mathbb{P} = \int_A Z d\mathbb{P} \qquad \forall A \in \sigma(Z) $.
So che $Z$ è un'esponenziale a parametro $2\alpha$ ed ora?
In realtà avrei una anche un'altra domanda (chiedo anticipatamente scusa nel caso fosse una colossale stupidata): è vero che $(1-e^{-\alpha X})=\mathbb{P}(X<=X) $? Nel qual caso, sarebbe allora: $\int_A (1-e^{-\alpha X}) d\mathbb{P}=\mathbb{P}(A)$?
Grazie!
Risposte
Non capisco bene cosa tu voglia fare, o meglio forse capisco ma non mi pare la strada adatta. Quella che usi te è la definizione di valore atteso condizionato; diciamo che a noi ora serve una cosa più operativa. Ovvero invece che verificare che sia quella, calcolarla.
Considera che $Z=min{X,Y}=X1_{Y>X}+Y1_{X>Y}$. Adesso $E[Z|X]=E[X1_{Y>X}|X]+E[Y1_{X>Y}|X]$.
Per quello che chiedi dopo $P(X <= X)$ è ovviamente uguale a 1.
Considera che $Z=min{X,Y}=X1_{Y>X}+Y1_{X>Y}$. Adesso $E[Z|X]=E[X1_{Y>X}|X]+E[Y1_{X>Y}|X]$.
Per quello che chiedi dopo $P(X <= X)$ è ovviamente uguale a 1.
In teoria mi sarebbe piaciuto verificare "semplicemente" che le proprietà del valore atteso condizionato fossero soddisfatte dalla forma data.
Ora non riesco a ragionare in maniera decente, ci tornerò su domani.
Grazie dell'input, spero di riuscire a svilupparlo nella maniera corretta.
Ora non riesco a ragionare in maniera decente, ci tornerò su domani.
Grazie dell'input, spero di riuscire a svilupparlo nella maniera corretta.
Ok puoi provare a fare come dici te ma non lo vedo semplice anche perchè devi definire lo spazio di probabilità nel quale lavori. Fai attenzione inoltre che la media condizionata è $sigma{X}$ misurabile e lo si vede ad occhio questo.
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