Valore atteso condizionato costante q.c.
Ciao a tutti!
Per contestualizzare il problema, vi scrivo innanzitutto il testo dell'esercizio.
Sia $(\Omega,\mathcal{F}, \mu)$ uno spazio di misura e sia $\mathcal{C} \subset \mathcal{F}$ una sotto-$\sigma$-algebra. Si mostri che:
$\mathcal{C}$ è banale $\qquad Leftrightarrow \qquad \mathbb{E}[X|\mathcal{C}]=k\quad \mu-q.c. \qquad \forall X \in \mathcal{L}^1 (\Omega, \mathcal{F}, \mu) $
In primo luogo mi è sorto un dubbio: è giusto parlare solo di spazio di misura o dobbiamo metterci in uno spazio di probabilità? A lezione abbiamo parlato di valore atteso, valore atteso condizionato, ... solo in spazi di probabilità ed ora la consegna dell'esercizio toglie l'ipotesi $\mu(\Omega)=1$. Cosa devo domandarmi per capire l'eventuale inutilità di quest'ulteriore ipotesi?
Detto questo, per provare a farmi un'idea di cosa bisogna fare, ho iniziato a lavorare nel consueto spazio di probabilità $(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})$ e sono arrivata a scrivere quanto segue.
"$\Rightarrow$" Per ipotesi ho: $\mathcal{C}={\emptyset, \Omega}$.
Per definizione di valore atteso condizionato posso dire che, in questa particolare situazione,
\[ \mathbb{E}[X|\mathcal{C}]=\mathbb{E}[X|\Omega]=\frac{\mathbb{E} [X\chi_{\Omega}]}{\mathbb{P}[\Omega]}=\mathbb{E}[X] \]
Per le proprietà che caratterizzano il valore atteso condizionato, so anche che $\int_{C} \mathbb{E}[X|\mathcal{C}] d\mathbb{P} = \int_{C} X d\mathbb{P} \qquad \forall C \in \mathcal{C} $.
Considerando $C=\emptyset$ ho $0=0$ e va bene, considerando $C=\Omega$ ottengo l'uguaglianza $\int \mathbb{E}[X|\mathcal{C}] d\mathbb{P}=\mathbb{E}[X] $
Unendo i due risultati così trovati si ha che:
\[ \int \mathbb{E}[X] d\mathbb{P} = \mathbb{E}[X] \]
ma da qui ho un dubbio: posso concludere che $\mathbb{E}[X]=k$ perchè la relazione deve valere $\forall X$ oppure no?
L'altra implicazione, invece, mi sembra tornare tutta.
"$\Leftarrow$" Sfruttando l'ipotesi di valore atteso condizionato costante, trovo che $ \int_{C} \mathbb{E}[X|\mathcal{C}] d\mathbb{P} = k\mathbb{P}(C) \qquad \forall C\in\mathcal{C}$.
Dalla proprietà del valore atteso condizionato ho inoltre che $\int_{C} \mathbb{E}[X|\mathcal{C}] d\mathbb{P} = \int_{C} X d\mathbb{P} \qquad \forall C \in \mathcal{C}$.
Se, per assurdo, $\mathcal{C}$ non fosse la sotto-$\sigma$-algebra banale, troverei certamente un $A\in\mathcal{C}$ non vuoto e diverso da $\Omega$ (per cui avrei anche che $A^c \in \mathcal{C}$). Per definizione otterrei così che:
\[ \mathbb{E}[X|\mathcal{C}] = \mathbb{E}[X|A]+\mathbb{E}[X|A^c]=\frac{\mathbb{E}[X \chi_A]}{\mathbb{P}(A)}+\frac{\mathbb{E}[X \chi_{A^c}]}{\mathbb{P}(A^c)}=\frac{\int_A X d\mathbb{P}}{\mathbb{P}(A)}+\frac{\int_{A^c} X d\mathbb{P}}{\mathbb{P}(A^c)}=2k \]
da cui segue l'assurdo.
Spero che la lunghezza del messaggio non abbia "impaurito" nessuno. Detto questo, se qualcuno mi sapesse dare un parere sulla scorrettezza o correttezza della dimostrazione o anche solo la risposta alla domanda iniziale, non potrei che esprimere la mia gratitudine con un GRAZIE!
Per contestualizzare il problema, vi scrivo innanzitutto il testo dell'esercizio.
Sia $(\Omega,\mathcal{F}, \mu)$ uno spazio di misura e sia $\mathcal{C} \subset \mathcal{F}$ una sotto-$\sigma$-algebra. Si mostri che:
$\mathcal{C}$ è banale $\qquad Leftrightarrow \qquad \mathbb{E}[X|\mathcal{C}]=k\quad \mu-q.c. \qquad \forall X \in \mathcal{L}^1 (\Omega, \mathcal{F}, \mu) $
In primo luogo mi è sorto un dubbio: è giusto parlare solo di spazio di misura o dobbiamo metterci in uno spazio di probabilità? A lezione abbiamo parlato di valore atteso, valore atteso condizionato, ... solo in spazi di probabilità ed ora la consegna dell'esercizio toglie l'ipotesi $\mu(\Omega)=1$. Cosa devo domandarmi per capire l'eventuale inutilità di quest'ulteriore ipotesi?
Detto questo, per provare a farmi un'idea di cosa bisogna fare, ho iniziato a lavorare nel consueto spazio di probabilità $(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})$ e sono arrivata a scrivere quanto segue.
"$\Rightarrow$" Per ipotesi ho: $\mathcal{C}={\emptyset, \Omega}$.
Per definizione di valore atteso condizionato posso dire che, in questa particolare situazione,
\[ \mathbb{E}[X|\mathcal{C}]=\mathbb{E}[X|\Omega]=\frac{\mathbb{E} [X\chi_{\Omega}]}{\mathbb{P}[\Omega]}=\mathbb{E}[X] \]
Per le proprietà che caratterizzano il valore atteso condizionato, so anche che $\int_{C} \mathbb{E}[X|\mathcal{C}] d\mathbb{P} = \int_{C} X d\mathbb{P} \qquad \forall C \in \mathcal{C} $.
Considerando $C=\emptyset$ ho $0=0$ e va bene, considerando $C=\Omega$ ottengo l'uguaglianza $\int \mathbb{E}[X|\mathcal{C}] d\mathbb{P}=\mathbb{E}[X] $
Unendo i due risultati così trovati si ha che:
\[ \int \mathbb{E}[X] d\mathbb{P} = \mathbb{E}[X] \]
ma da qui ho un dubbio: posso concludere che $\mathbb{E}[X]=k$ perchè la relazione deve valere $\forall X$ oppure no?
L'altra implicazione, invece, mi sembra tornare tutta.
"$\Leftarrow$" Sfruttando l'ipotesi di valore atteso condizionato costante, trovo che $ \int_{C} \mathbb{E}[X|\mathcal{C}] d\mathbb{P} = k\mathbb{P}(C) \qquad \forall C\in\mathcal{C}$.
Dalla proprietà del valore atteso condizionato ho inoltre che $\int_{C} \mathbb{E}[X|\mathcal{C}] d\mathbb{P} = \int_{C} X d\mathbb{P} \qquad \forall C \in \mathcal{C}$.
Se, per assurdo, $\mathcal{C}$ non fosse la sotto-$\sigma$-algebra banale, troverei certamente un $A\in\mathcal{C}$ non vuoto e diverso da $\Omega$ (per cui avrei anche che $A^c \in \mathcal{C}$). Per definizione otterrei così che:
\[ \mathbb{E}[X|\mathcal{C}] = \mathbb{E}[X|A]+\mathbb{E}[X|A^c]=\frac{\mathbb{E}[X \chi_A]}{\mathbb{P}(A)}+\frac{\mathbb{E}[X \chi_{A^c}]}{\mathbb{P}(A^c)}=\frac{\int_A X d\mathbb{P}}{\mathbb{P}(A)}+\frac{\int_{A^c} X d\mathbb{P}}{\mathbb{P}(A^c)}=2k \]
da cui segue l'assurdo.
Spero che la lunghezza del messaggio non abbia "impaurito" nessuno. Detto questo, se qualcuno mi sapesse dare un parere sulla scorrettezza o correttezza della dimostrazione o anche solo la risposta alla domanda iniziale, non potrei che esprimere la mia gratitudine con un GRAZIE!
Risposte
"Bochum11":
Ciao a tutti!
Per contestualizzare il problema, vi scrivo innanzitutto il testo dell'esercizio.
Sia $(\Omega,\mathcal{F}, \mu)$ uno spazio di misura e sia $\mathcal{C} \subset \mathcal{F}$ una sotto-$\sigma$-algebra. Si mostri che:
$\mathcal{C}$ è banale $\qquad Leftrightarrow \qquad \mathbb{E}[X|\mathcal{C}]=k\quad \mu-q.c. \qquad \forall X \in \mathcal{L}^1 (\Omega, \mathcal{F}, \mu) $
In primo luogo mi è sorto un dubbio: è giusto parlare solo di spazio di misura o dobbiamo metterci in uno spazio di probabilità? A lezione abbiamo parlato di valore atteso, valore atteso condizionato, ... solo in spazi di probabilità ed ora la consegna dell'esercizio toglie l'ipotesi $\mu(\Omega)=1$. Cosa devo domandarmi per capire l'eventuale inutilità di quest'ulteriore ipotesi?
Io il valore atteso l'ho sempre visto relazionato a spazi di probabilità, la definizione che uso è la seguente: Data $X$ v.a. integrabile (risp. positiva) e $\mathcal{C}$ una sottosigma - algebra in uno spazio di probabilità fissato $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ allora definiamo la v.a. $Y=\mathbb{E}(X |\mathcal{C})$ nel seguente modo:
1. $Y$ è integrabile (risp. positiva) e $\mathcal{C}$ - misurabile;
2. per ogni $C\in \mathcal{C}$ si ha che $\mathbb{E}(X1_{C})=\mathbb{E}(Y1_{C})$
e si dimostra la sua esistenza e la sua unicità $\mathbb{P}$ - qc
Se ora metti una misura casuale, semplicemente sostituendo a $\mathbb{P}$ la tua nuova misura $\mu$, la definizione rimane ben posta?...
Su due piedi direi che l'unicità non dovrebbe dare problemi, dovrei rivedere la dimostrazione dell'esistenza (sicuramente se $\mu$ è finita, allora non ci sono problemi, i problemi ci potrebbero essere se $\mu$ non fosse finita).
Detto questo, per provare a farmi un'idea di cosa bisogna fare, ho iniziato a lavorare nel consueto spazio di probabilità $(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})$ e sono arrivata a scrivere quanto segue.
"$\Rightarrow$" Per ipotesi ho: $\mathcal{C}={\emptyset, \Omega}$.
Per definizione di valore atteso condizionato posso dire che, in questa particolare situazione,
\[ \mathbb{E}[X|\mathcal{C}]=\mathbb{E}[X|\Omega]=\frac{\mathbb{E} [X\chi_{\Omega}]}{\mathbb{P}[\Omega]}=\mathbb{E}[X] \]
Per le proprietà che caratterizzano il valore atteso condizionato, so anche che $\int_{C} \mathbb{E}[X|\mathcal{C}] d\mathbb{P} = \int_{C} X d\mathbb{P} \qquad \forall C \in \mathcal{C} $.
Considerando $C=\emptyset$ ho $0=0$ e va bene, considerando $C=\Omega$ ottengo l'uguaglianza $\int \mathbb{E}[X|\mathcal{C}] d\mathbb{P}=\mathbb{E}[X] $
Unendo i due risultati così trovati si ha che:
\[ \int \mathbb{E}[X] d\mathbb{P} = \mathbb{E}[X] \]
ma da qui ho un dubbio: posso concludere che $\mathbb{E}[X]=k$ perchè la relazione deve valere $\forall X$ oppure no?
Beh l'unica v.a. misurabile rispetto a una sigma-algebra banale sono le costanti e dalla definizione (la probabilità condizionata deve essere $\mathcal{C}$ - misurabile) concludi subito che $\mathbb{E}(X |\mathcal{C})=k=\mathbb{E}(X)$.
Questo lo puoi vedere facilmente così: Prendi una v.a. $X$, allora $X$ è $\mathcal{C}$-misurabile sse $\sigma(X)\subset \mathcal{C}$.
Nel tuo caso $\sigma(X)\subset \{\Omega,\emptyset\}$ ovvero $\{X\in A\}=\Omega$ o $\{X\in A\} =\emptyset$, da cui puoi concludere.
(comunque anche la tua dimostrazione, anche se un pò fosca, va bene. L'osservazione è che $\mathbb{E}(X)$ è già una costante).
L'altra implicazione, invece, mi sembra tornare tutta.
"$\Leftarrow$" Sfruttando l'ipotesi di valore atteso condizionato costante, trovo che $ \int_{C} \mathbb{E}[X|\mathcal{C}] d\mathbb{P} = k\mathbb{P}(C) \qquad \forall C\in\mathcal{C}$.
Dalla proprietà del valore atteso condizionato ho inoltre che $\int_{C} \mathbb{E}[X|\mathcal{C}] d\mathbb{P} = \int_{C} X d\mathbb{P} \qquad \forall C \in \mathcal{C}$.
Se, per assurdo, $\mathcal{C}$ non fosse la sotto-$\sigma$-algebra banale, troverei certamente un $A\in\mathcal{C}$ non vuoto e diverso da $\Omega$ (per cui avrei anche che $A^c \in \mathcal{C}$). Per definizione otterrei così che:
\[ \mathbb{E}[X|\mathcal{C}] = \mathbb{E}[X|A]+\mathbb{E}[X|A^c]=\frac{\mathbb{E}[X \chi_A]}{\mathbb{P}(A)}+\frac{\mathbb{E}[X \chi_{A^c}]}{\mathbb{P}(A^c)}=\frac{\int_A X d\mathbb{P}}{\mathbb{P}(A)}+\frac{\int_{A^c} X d\mathbb{P}}{\mathbb{P}(A^c)}=2k \]
da cui segue l'assurdo.
!
si, questo mi torna.
Oppure puoi brevemente concludere che, con semplici passaggi, l'unica sigma - algebra generata da delle costanti è quella banale, o no?. Questo è quello che ti chiede in fondo la dimostrazione.
spero di non aver detto cavolate
Ciaooo
"Bochum11":
Sia $(\Omega,\mathcal{F}, \mu)$ uno spazio di misura e sia $\mathcal{C} \subset \mathcal{F}$ una sotto-$\sigma$-algebra. Si mostri che:
$\mathcal{C}$ è banale $\qquad Leftrightarrow \qquad \mathbb{E}[X|\mathcal{C}]=k\quad \mu-q.c. \qquad \forall X \in \mathcal{L}^1 (\Omega, \mathcal{F}, \mu) $
Volevo porre un dubbio. Secondo me l'implicazione da destra verso sinistra non è vera. Questo perchè si chiede non che la media condizionata sia una costante, ma una costante q.c..
Se si considera una sigma algebra del tipo $mathcal{C}={Omega,emptyset,A,A^c}$ con $P(A)=1$ si ha che, data una generica v.a. $X in L^1$, $E[X|mathcal{C}]$ è una v.a. che è costante su $A$ che ha probabilità uno.
"Bochum11":
Per definizione otterrei così che:
\[ \mathbb{E}[X|\mathcal{C}] = \mathbb{E}[X|A]+\mathbb{E}[X|A^c]\]
da cui segue l'assurdo.
Poi questo non è corretto. Se mai sarebbe
\[ \mathbb{E}[X|\mathcal{C}] = \mathbb{E}[X|A]1_A+\mathbb{E}[X|A^c]1_{A^c} \]
"DajeForte":
[quote="Bochum11"]
Sia $(\Omega,\mathcal{F}, \mu)$ uno spazio di misura e sia $\mathcal{C} \subset \mathcal{F}$ una sotto-$\sigma$-algebra. Si mostri che:
$\mathcal{C}$ è banale $\qquad Leftrightarrow \qquad \mathbb{E}[X|\mathcal{C}]=k\quad \mu-q.c. \qquad \forall X \in \mathcal{L}^1 (\Omega, \mathcal{F}, \mu) $
Volevo porre un dubbio. Secondo me l'implicazione da destra verso sinistra non è vera. Questo perchè si chiede non che la media condizionata sia una costante, ma una costante q.c..
Se si considera una sigma algebra del tipo $mathcal{C}={Omega,emptyset,A,A^c}$ con $P(A)=1$ si ha che, data una generica v.a. $X in L^1$, $E[X|mathcal{C}]$ è una v.a. che è costante su $A$ che ha probabilità uno.[/quote]
effettivamente messa così non sembrerebbe funzionare, non ci avevo fatto caso. Bisognerebbe fissare la versione della probabilità condizionata che sia costante. A quel punto non ci sarebbero problemi.
Oppure mi viene da pensare (l'idea mi aveva già sfiorato prima) che nell'esercizio si intenda una $\sigma$ - algebra banale "alla legge 0-1" ovvero se $A\in \mathcal{C}$ allora $P(A)=1$ o $P(A)=0$. In questo caso dovrebbe tornare tutto.
Effettivamente anche noi abbiamo definito il valore atteso in spazio di probabilità ed il valore atteso condizionato l'abbiamo definito esattamente come mi hai indicato. Quindi, per quanto riguarda l'ambiente in cui lavorare, ho scritto all'esercitatore e lui mi ha risposto che, effettivamente, si ha a che fare con uno spazio di probabilità.
DajeForte mi hai preceduto! Oggi, riguardando un po' gli esercizi prima della copiatura in bella, mi ero proprio accorta dell'errore che mi hai segnalato e mi sono bloccata, essendomi venuto in mente esattamente il tuo stesso controesempio. (Purtroppo questo mi è venuto in mente troppo tardi per poter chiedere conferme sul testo al docente).
Grazie dell'aiuto!
DajeForte mi hai preceduto! Oggi, riguardando un po' gli esercizi prima della copiatura in bella, mi ero proprio accorta dell'errore che mi hai segnalato e mi sono bloccata, essendomi venuto in mente esattamente il tuo stesso controesempio. (Purtroppo questo mi è venuto in mente troppo tardi per poter chiedere conferme sul testo al docente).
Grazie dell'aiuto!
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