Valore atteso condizionato

[The_Rovs]

Salve, vi propongo i seguente esercizio, poiché proprio non riesco a venirne a capo:
" Una fabbrica di batterie ha tre linee produttive, per lo stesso tipo di batteria, A, B e C con le seguenti caratteristiche:
A produce 6000 batterie/mese con deviazione standard della tensione $ sigma _A = 100mV $
B produce 12000 batterie/mese con deviazione standard della tensione $ sigma _B = 150mV $
C produce 4000 batterie/mese con deviazione standard della tensione $ sigma _C = 70mV $
La tensione X di ogni batteria è supposta con densità di probabilità Gaussiana di valore atteso 1500 mV e deviazione standard $ sigma_A, sigma_B, sigma_C $ a seconda della linea produttiva da cui proviene.
(a) Si costruisca un modello statistico della tensione della generica batteria prodotta con la relativa densità di probabilità e se ne faccia un grafico indicativo
Questo punto l'ho risolto come segue:
$ f_x(x) = f_x(x|A)*P(A)+ f_x(x|B)P(B) +f_x(x|C)*P(C) $
ovvero con $ P(A) = 6000/22000 = 3/11 $ e $ P(B) = 6/11, P(C) = 2/11 $
e già qui ho il primo problema: Come lo traccio il grafico?
(b)Il cliente accetta solo batterie che stanno nell'intervallo da 1300 a 1700 mV (si indichi con M tale evento) quelle fuori vengono scartate. Ricavare la densità di probabilità della tensione delle batterie accettate e farne un grafico indicativo.
Normalizzando per ottenere una V.A. gaussiana std a seconda dei casi ottengo:
$ Y_1 = (X-1500)/100, Y_2=(X-1500)/150, Y_3= (X-1500)/70 $
da cui ottengo le probabilità
$ P(M|A)= F_Y(2)-F_Y(-2) = 0.9545 $
$ P(M|B)= F_Y(4/3)-F_Y(-4/3) = 0.8064 $ (È giusto? Il risultato del libro è 0.816 )
$ P(M|C)= F_Y(20/7)-F_Y(-20/7) = 0.9956 $ (Anche in questo caso, il risultato del libro è 0.9958)
da cui ricavo
$ P(M) = P(M|A)P(A)+ P(M|B)P(B)+ P(M|C)P(C) = 0.88646 $
Quindi
$ f(x|M) = { ( 0 ),( f_x(x)/(P(M)) ):} $ nel primo caso per $ x<=1300 o x>1700 $ altrimenti nel secondo caso
Ora arriva il punto clue:
(c) Calcolare il numero di batterie scartate al mese
Io avevo pensato di calcolarmi il valore atteso facendolo variare tra i due estremi accettati e scartare tale valore dal totale di batterie vendute (22000)
Ma 1. È giusto?
2. Dalla definizione di valore atteso condizionato è la seguente: $ E[x|M] = int_(1300)^(1700) xf(x|M) dx $ Ma come calcolarlo? Ovviamente non si tratta più della gaussiana std dato che sopra ho una somma di funzioni di densità
Il punto seguente in realtà mi lascia perplessa perché per quanto abbia cercato di ragionarci non riesco a venirne assolutamente a capo:
(d) Se si prevede di vendere 9000 batterie al mese è possibile chiudere la linea B?
Esattamente che condizione dovrei imporre sulla probabilità per capire se sia necessario chiuderla o meno?

[Lo_zio_Tom]

Tante domande ma tutte molto semplici:
a) non hai finito. ..devi calcolare la distribuzione esatta (ed è facile vedere che distribuzione sia, basta usare le proprietà della gaussiana)

b) una volta calcolata la distribuzione in a ) quella in b) è la distribuzione troncata

c) non è un valore atteso condizionale...devi considerare tutte le batterie non conformi

d) Per poter chiudere la linea B le batterie conformi alle specifiche delle altre due linee devono essere sufficienti a coprire le vendite previste.


ciao

[The_Rovs]

Innanzitutto ti ringrazio per la risposta, tuttavia non riesco ad uscire dal pantano.
In realtà il punto mi rimane (per quanto riguarda a) e b)) perché avrei una somma di funzioni di densità gaussiane, condizionate agli eventi di cui sopra, ma come calcolo la distribuzione di tale somma? Non è una gaussiana std, ha ovviamente andamento gaussiano, ma non so come calcolarlo..