Valore atteso condizionato

[morbibi]

Salve a tutti,

ho dei problemi a capire come lavorare con il valore atteso condizionato e a dimostrare alcune sue proprietà. L'idea di base, banale, del valore atteso condizionato mi è chiara, così come la definizione:

$E[X|Y] = \sum_x xP(X=x|Y=y)$ (analogamente poi nel caso continuo, con alcune accortezze sull'uguaglianza)

Tuttavia, già quando devo mettermi a dimostrare una prima proprietà, ho dei problemi. La proprietà in questione è questa:

$E[XY|Y=y] = YE[X|Y]$ (qualsiasi X,Y)

La prima domanda che mi pongo (prima ancora di tentare di dimostrare l'uguaglianza) è questa: supponendo X,Y indipendenti posso scrivere:
$E[XY|Y] = E[X|Y]E[Y|Y]$
Dato che deve essere uguale a $YE[X|Y]$, è corretto dire che, in generale, $E[Y|Y]=Y$? Perchè?

Tornando invece alla dimostrazione ho proceduto in questo modo:
Supponendo X,Y entrambe discrete mi blocco subito nell'utilizzo della definizione. Se invece provo a fare un ragionamento meno formale, posso immaginare che, essendo Y=y, esso sia trattabile come una costante e quindi, per linearità, posso scrivere $yE[X|Y=y]$ e poi da qua (senza riuscire però a motivarlo bene) scrivere la tesi: $YE[X|Y]$.

Potreste darmi una mano a formalizzare un po' il tutto e a capire meglio il concetto? Grazie!

[fu^2]

"Morbibi":Salve a tutti,

ho dei problemi a capire come lavorare con il valore atteso condizionato e a dimostrare alcune sue proprietà. L'idea di base, banale, del valore atteso condizionato mi è chiara, così come la definizione:

$E[X|Y] = \sum_x xP(X=x|Y=y)$ (analogamente poi nel caso continuo, con alcune accortezze sull'uguaglianza)

Nel caso continuo $Y=y$ è un evento di probabilità nulla, quindi questa scrittura è un'attimo problematica nel caso continuo, no?

"Morbibi":
Tuttavia, già quando devo mettermi a dimostrare una prima proprietà, ho dei problemi. La proprietà in questione è questa:

$E[XY|Y=y] = YE[X|Y]$ (qualsiasi X,Y)

Penso che per dimostrare in maniera rigorosa e pulita questa affermazione è meglio che usi la vera definizione di speranza condizionale:

http://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_expectation

che nel caso discreto si riduce a quello che hai scritto te prima.

"Morbibi":
La prima domanda che mi pongo (prima ancora di tentare di dimostrare l'uguaglianza) è questa: supponendo X,Y indipendenti posso scrivere:
$E[XY|Y] = E[X|Y]E[Y|Y]$
Dato che deve essere uguale a $YE[X|Y]$, è corretto dire che, in generale, $E[Y|Y]=Y$? Perchè?

Le risposte a queste due domande le trovi velocemente se utilizzi la definizione formale di speranza condizionale. Idealmente $E(X|Y)$ è la miglior VARIABILE ALEATORIA che approssima $X$ conoscendo solo i dati che vengono da $Y$...

[morbibi]

"fu^2":
Nel caso continuo $Y=y$ è un evento di probabilità nulla, quindi questa scrittura è un'attimo problematica nel caso continuo, no?

Sì, io conosco le seguenti definizioni per il caso discreto/continuo:

$E[X|Y] = \sum_x xP(X=x|Y=y)$ se discreto
$E[X|Y] = \int_{-\infty}^{\infty} xf_{X|Y}(x|y) dx = \int_{-\infty}^{\infty} x*((f_{XY}(x,y))/(f_{Y}(y))) dx $

Mi è chiaro che il valore atteso $E[X|Y]$ sarà quindi una variabile aleatoria $W = g(Y)$. Posso quindi immaginare che anche $E[X|X=x]$ sarà una variabile aleatoria $g(X)$, e, intuitivamente, mi è pure chiaro che essa sia proprio $X$. Ma cercando di essere più formali, e procedendo supponendo $X$ discreta(se fosse continuail procedimento è analogo) ottengo:

$E[X|X=t] = \sum_x x*P(X=x|X=t) = t*1 = t$

Quindi è corretto affermare che la densità di $E[X|X]$ è proprio la stessa di $X$, asserendo quindi che $E[X|X]=X$?

Penso che per dimostrare in maniera rigorosa e pulita questa affermazione è meglio che usi la vera definizione di speranza condizionale:

http://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_expectation

Ti ringrazio per il link. La definizione utilizzando le $\sigma$-algebra non l'abbiamo comunque data. Volevo quindi riuscire a trovare una dimostrazione della proprietà utilizzando la definizione di valore atteso nel caso continuo/discreto che ho dato sopra. La mia difficoltà sta nel fatto che, dovendo calcolare $E[XY|Y]$ mi ritrovo ad avere una variabile aleatoria congiunta ed ho più difficoltà ad applicare la definizione.