Valore atteso con variabili di bernoulli

[Darksasori]

Ciao, qualcuno sa spiegarmi il risultato di questo esercizio:

Calcolare il valore attesto di $Y=max(X_1,X_2)$ dove $X_1,X_2$ sono due variabili di Bernoulli indipendenti di parametro p appartenente a (0,1).

La soluzione è $E(Y)=1-(1-p)^2$

Io ho provato così $P(Y=0) = P(X_1=0)P(X_2=0) = (1-p)^2$
$P(Y=1) = P(X_1=1)P(X_2=0) + P(X_1=0)P(X_2=1) + P(X_1=1)P(X_2=1) = p^2 + 2p(1-p)$

$E(Y) = 0*P(Y=0)+1*P(Y=1) = p^2 + 2p(1-p)$

Visto che il risultato è diverso credo di aver sbagliato qualcosa ma non so cosa

[Andrea2976]

Ciao Dark,

il risultato è giusto, semplifica solo le due espressioni, cioè la tua soluzione e quella proposta e vedrai che sono uguali.

[hamming_burst]

In alternativa al calcolo di tutto lo spazio campionario:

Sia $K= max{X_1, ..., X_n}$ con \(X_i \sim \mathcal{B}(p)\) indipendenti, $p \in (0,1)$ e $n \in NN$, allora

calcoladoci prima la cdf:
$F_K(k) = P(K <= k) = P(max{X_1, ..., X_n} <= k) = P(X_1<=k, ..., X_n<=k) = P(X_1<=k)* ... *P(X_n<=k) = [P(X_i <= k)]^n$
$[P(X_i <= k)]^n = [F_{X_i}(k)]^n = [sum_{t=0}^k p^t(1-p)^(1-t)]^n = $ wolfram
$[(1-2 p+p^2-(1-p)^(1-k) p^(1+k))/(1-2 p)]^n$

calcolandoci poi la pmf:

$f_K(k) = P(K=k) = P(K<= k) - P(K <= k-1) =$
$= [(1-2 p+p^2-(1-p)^(1-k) p^(1+k))/(1-2 p)]^n - \[-((1-p)^(-k) (-1+p)^2 ((1-p)^k-p^k))/(-1+2 p)]^n$

allora il valore atteso risulta essere:

$E[K] = sum_{k=0}^1 k*P(K=k) = 1 - (1-p)^n$

[Darksasori]

E' vero che stupido! Ero così fissato che fosse sbagliato che non me n'ero accorto! Grazie ad entrambi!!