Valore atteso
Salve a tutti, ho una domanda e ringrazio in anticipo chi sarà in grado di darmi una risposta:
Calcolare il $E[Z^n]$ con $Z~N(0,1)$ e $n>=2$, pari.
Calcolare il $E[Z^n]$ con $Z~N(0,1)$ e $n>=2$, pari.
Risposte
dove è che hai problemi nel fare questo calcolo?...
non so qual'e la distribuzione di $Z^n$ con $n$ pari..!o meglio, so che $Z^2$ ha distribuzione chi quadro, e che $E[Z^2]=1$, ma per n generico pari, non so la risposta... grazie ancora
Le variabili sono indipendenti tra loro? in tal caso la riposta è banale 
per me non è banale.. per favore potete spiegarmelo?
per favore potete spiegarmelo?
Quello che volevo dire è che se le variabili sono indipendenti tra loro, allora il valore atteso del prodotto sarà il prodotto dei valori attesi.
se ho capito bene $Z$ è una v.a. Normale di parametri $(0,1)$
allora, clrscr è fuori strada, il problema non è così semplice come può sembrare perchè non abbiamo $E(Z)*E(Z)..$; ma $E(Z^n)$ che è una cosa diversa, allora devi risolvere:
$int_(-oo )^(+oo ) g(Z)f(Z) dZ$ dove $g(Z)=Z^n$ mentre la densità della Normale standard la sapete.
Allora il risultato deve venire $(n-1)!!$ che significa fai il fattoriale dei soli valori dispari; ma attenzione al fatto che $n$ deve essere pari (ed è per questo che ti è richiesto pari, e chiaramente maggiore o uguale a 2)
Se osservate si ottengono i seguenti risultati noti:
$E(Z^2)=1; E(Z^4)=3;......$
buon divertimento con la dimostrazione
E se mi posso permettere non siate mai troppo "ottimisti" in campi come il calcolo delle probabilità dove basta poco per complicare molto le cose (nel senso andate coi piedi di piombo) non è parere mio di autorevoli professori.
allora, clrscr è fuori strada, il problema non è così semplice come può sembrare perchè non abbiamo $E(Z)*E(Z)..$; ma $E(Z^n)$ che è una cosa diversa, allora devi risolvere:
$int_(-oo )^(+oo ) g(Z)f(Z) dZ$ dove $g(Z)=Z^n$ mentre la densità della Normale standard la sapete.
Allora il risultato deve venire $(n-1)!!$ che significa fai il fattoriale dei soli valori dispari; ma attenzione al fatto che $n$ deve essere pari (ed è per questo che ti è richiesto pari, e chiaramente maggiore o uguale a 2)
Se osservate si ottengono i seguenti risultati noti:
$E(Z^2)=1; E(Z^4)=3;......$
buon divertimento con la dimostrazione
E se mi posso permettere non siate mai troppo "ottimisti" in campi come il calcolo delle probabilità dove basta poco per complicare molto le cose (nel senso andate coi piedi di piombo) non è parere mio di autorevoli professori.
Chiedo perdono in ginocchio...
Per trovare il momento n-esimo ($E[X^n]$) si può passare attraverso la funzione genratrice dei momenti che è definita come:
$g(t)=E[e^(tX)]$ che nel caso di una distribuzione normale standard (modia zero e varianza unitaria) risulta:
$g(t)=e^(t^2/2)$.
E' possibile calcolare il momento n-esimo nel modo seguente:
$E[X^n]=(del^ng(t))/(del t^n)|_{t=0}$.
Da qui la conclusione scusate ancora per prima.
Per trovare il momento n-esimo ($E[X^n]$) si può passare attraverso la funzione genratrice dei momenti che è definita come:
$g(t)=E[e^(tX)]$ che nel caso di una distribuzione normale standard (modia zero e varianza unitaria) risulta:
$g(t)=e^(t^2/2)$.
E' possibile calcolare il momento n-esimo nel modo seguente:
$E[X^n]=(del^ng(t))/(del t^n)|_{t=0}$.
Da qui la conclusione
scusate ancora per prima.
no problem, grazie a tutti per la spiegazione!!
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