V.a. proporzionale ad una funzione

[mobley]

Il testo è il seguente:

Sia $X$ una variabile aleatoria con densità proporzionale ad una funzione $g(x)$, dove $g$ è una funzione $g(x):={ ( |x|^-n,|x|>=1 ),( 0, |x|<1 ):}$ che dipende da un intero $n>=2$.
1) Scrivere la densità di $X$ per un valore di $n>=2$ generico.
2) Stabilire per quali valori di $n$ esiste la media di $X$.

L'esercizio proseguirebbe ma è il secondo punto che mi interessa, quindi mi fermo qui.
Per quanto riguarda il primo punto mi ritrovo con la soluzione della traccia, che vede $f(x)=(n-1)/2|x|^(-n)\mathbb(I)_[|x|>=1](x)$. Allora non capisco perchè, al momento di calcolare il valore atteso, io ottengo

$\mathbb(E)[X]=\int_(|x|>=1)x(n-1)/2|x|^(-n)dx=(n-1)/2\int_(-\infty)^(-1)x^(1-n)dx+(n-1)/2\int_(1)^(+\infty)x^(1-n)dx=(n-1)/(n-2)$

mentre la soluzione è $(n-1)/2(n-2)$... Non bisogna anche in questo caso ricorrere al fatto che $|x|>=1rArr{ ( x>=1,x>0 ),( -x<=1rarr x<=-1,x<0 ):}rArr g(x)=|x|^(-n),{(x>=1) uu (x<=-1)}$?
Se no, per quale motivo? Onestamente non capisco.

Grazie mille per qualsiasi aiuto ragazzi!

[ghira1]

Non ti chiede di calcolare la media. Ti chiede per quali $n$ esiste la media. Se la media esiste, spero tanto che sia $0$.

[mobley]

"ghira":Non ti chiede di calcolare la media. Ti chiede per quali $n$ esiste la media. Se la media esiste, spero tanto che sia $0$.

Ovviamente. Secondo il risultato da me ottenuto, vale a dire $\mathbb(E)[X]=(n-1)/(n-2)$, la media esiste per $n!=2$.
Secondo il docente, invece, la media esiste $forall n>2$. E l'errore senza dubbio si trova nel fatto che io scritto

$\mathbb(E)[X]=\int_(|x|>=1)x (n-1)/2|x|^(-n)dx=\int_(-\infty)^(-1)x (n-1)/2|x|^(-n)dx+\int_(1)^(+\infty)x (n-1)/2|x|^(-n)dx$

$=2\cdot (n-1)/2\int_(1)^(\infty)1/(x^(n-1))dx$

a differenza del docente che ottiene

$=(n-1)/2\int_(1)^(\infty)1/(x^(n-1))dx$

Ciò significa che lui ha definito la funzione $g(x)$ solo per $x>=1$ mentre io ho sfruttato la simmetria di $X$ (cosa peraltro fatta anche per il calcolo della densità della variabile e che mi ha portato ad ottenere il risultato corretto). Dunque non capisco perchè nel calcolo della densità è corretto sfruttare la definizione di modulo mentre nel calcolo del valore atteso no.

[mobley]

Tant'è che al punto successivo (cioè stabilire per quali valori di $n$ esiste la varianza di $X$) torna a sfruttare la simmetria di $X$ e quindi correttamente $\mathbb(Var)[X]=(n-1)/(n-3)$.

EDIT: Sfruttando però (evidentemente) il fatto che $\mathbb(E)[X]=0$ da cui $\mathbb(Var)[X]:=\mathbb(E)[X^2]-\mathbb(E)[X]^2=\mathbb(E)[X^2]$.

[ghira1]

Puoi espandere su "Ovviamente" e "invece"? Dici che ovviamente la media è 0 quando esiste, poi dai un altro valore. E tu e il docente siete d'accordo su quando esiste, quindi non capisco l'"invece".

Hai controllato i segni nel tuo calcolo della media?

[mobley]

"ghira":Puoi espandere su "Ovviamente" e "invece"?

Scusa ma non capisco cosa intendi per "espandere".

"ghira":Dici che ovviamente la media è 0 quando esiste, poi dai un altro valore.

Il mio "ovviamente" è riferito al fatto che se la varianza che ottiene è $(n-1)/(n-3)$ significa che nell'applicare la definizione di varianza $\mathbb(Var)[X]=\mathbb(E)[X^2]-\mathbb(E)[X]^2$ ha imposto la nullità del sottraendo, da cui segue che $\mathbb(Var)[X]-= \mathbb(E)[X^2]$. Ed $(n-1)/(n-3)$ si ottiene proprio applicando la simmetria di $X$ al calcolo di $\mathbb(E)[X^2]$, cosa che invece (in modo apparentemente arbitrario) non applica al calcolo del solo valore atteso.

"ghira":Hai controllato i segni nel tuo calcolo della media?

Direi di si. C'è qualcosa che mi sfugge, e non capisco cosa onestamente.

[ghira1]

Se la media è ovviamente $0$ (se esiste) come fai a dire che è anche $\frac{n-1}{n-2}$? E quando dici che secondo uno di voi esiste per $n$ diverso da 2 ma invece secondo l'altro esiste per $n$ diverso da 2 (tanto, sappiamo che $n$ è almeno 2) il senso di "invece" non mi è chiaro.

Volevo più dettagli sul tuo uso di "ovviamente" e "invece" qui.

[mobley]

"ghira":Se la media è ovviamente $0$ (se esiste) come fai a dire che è anche $\frac{n-1}{n-2}$?

Forse mi sono spiegato male. Il mio ovviamente è riferito al fatto che se $\mathbb(Var)[X]=(n-1)/(n-3)$, che è il risultato di $\mathbb(E)[X^2]$, è ovvio che $\mathbb(E)[X]$ dev'essere zero. Ciò che non capisco è perchè nel calcolare $\mathbb(E)[X]$ il docente non ricorra alla simmetria di $X$, cosa che invece (facendo io) mi porta ad ottenere quel $(n-1)/(n-2)$ che ti ho detto. Non capisco da dove tiri fuori quel $\mathbb(E)[X]=0$.

[ghira1]

Il docente non sta calcolando la media di tutta la distribuzione. Sta calcolando la media della parte a destra della distribuzione. Se è infinita, la media di tutta la distribuzione non esiste. E questo succede se $n=2$.

Altrimenti la media è ovviamente 0 per simmetria.

[mobley]

"ghira":Il docente non sta calcolando la media di tutta la distribuzione. Sta calcolando la media della parte a destra della distribuzione. Se è infinita, la media di tutta la distribuzione non esiste. E questo succede se $n=2$.

Altrimenti la media è ovviamente 0 per simmetria.

Capisco… Potresti farmi vedere gentilmente come lo calcoli 'sto benedetto valore atteso, allora?

[ghira1]

"mobley":Capisco… Potresti farmi vedere gentilmente come lo calcoli 'sto benedetto valore atteso, allora?

Come ha fatto il docente. Se la media della parte positiva è finita, la media complessiva è 0. Altrimenti non esiste. Avere o non avere un fattore di 2 non è importante a questo punto. Forse non capisco cosa stai chiedendo.