Unioni e intersezioni all'infinito
Ciao a tutti ragazzi. Svolgendo i vari esercizi sul libro di statistica, mi sono imbattuto in queste Unioni e intersezioni all'infinito, ma non coincidono con il mio ragionamento e vorrei magari una vostra spiegazione.
1) $uuu_{n = 1}^{\infty} [1+1/n, 3-1/n]$
Il risultato del libro è $[1,3)$. Ma dato che l'unione tende a infinito, se faccio $1/oo$ mi viene zero, quindi sia l'1 che il 3 non vengono mai raggiunti realmente. Quindi, perché l'1 ha parentesi quadra e non tonda?
2) $nnn_{n = 1}^{\infty} [1-1/n, 3+1/n)$
Il risultato del libro è $[1,3].$ Come mai sono inclusi i risultati? Mi riferisco più che altro al numero 3, in quanto non arriviamo mai a toccare il 3, ma tende solamente
3) $nnn_{n = 1}^{\infty} [5-1/n, 5+1/n)$
Il risultato del libro è ${5}$. Questo è abbastanza chiaro, in quanto alla fine abbiamo una quadra a sinistra e quindi questa intersezione è pari a 5. Se fosse stato $(5-1/n, 5+1/n)$ il risultato era l'insieme vuoto?
1) $uuu_{n = 1}^{\infty} [1+1/n, 3-1/n]$
Il risultato del libro è $[1,3)$. Ma dato che l'unione tende a infinito, se faccio $1/oo$ mi viene zero, quindi sia l'1 che il 3 non vengono mai raggiunti realmente. Quindi, perché l'1 ha parentesi quadra e non tonda?
2) $nnn_{n = 1}^{\infty} [1-1/n, 3+1/n)$
Il risultato del libro è $[1,3].$ Come mai sono inclusi i risultati? Mi riferisco più che altro al numero 3, in quanto non arriviamo mai a toccare il 3, ma tende solamente
3) $nnn_{n = 1}^{\infty} [5-1/n, 5+1/n)$
Il risultato del libro è ${5}$. Questo è abbastanza chiaro, in quanto alla fine abbiamo una quadra a sinistra e quindi questa intersezione è pari a 5. Se fosse stato $(5-1/n, 5+1/n)$ il risultato era l'insieme vuoto?
Risposte
Mi sembra che se ne sia parlato anche qui
Provo a risponderti anche se potrei sbagliarmi, tienine conto.
Riguardo il 2)
stiamo facendo l'intersezioni tra intervalli che cambiano al variare di $n$
vediamo un po' di casi per chiarirci le idee
$n=1 --> [1-1; 3+1)=[0;4)$
$n=2 --> [1-1/2; 3+1/2)=[1/2; 3+1/2)$
se facciamo l'intersezione otteniamo $[1/2; 3+1/2)$
se andiamo avanti con $n$ otterremo come estremo inferiore un numero di poco più piccolo di 1, infatti gli stiamo togliendo delle frazioni che diventano sempre più piccole, al limite 0, quindi 1 è incluso, e come estremo superiore un numero superiore a 3 di una frazione che diventa sempre più piccola, al limite 0, quindi il $3$ è senz'altro incluso. Insomma il 3 lo stiamo raggiungendo da destra.
Provo a risponderti anche se potrei sbagliarmi, tienine conto.
Riguardo il 2)
stiamo facendo l'intersezioni tra intervalli che cambiano al variare di $n$
vediamo un po' di casi per chiarirci le idee
$n=1 --> [1-1; 3+1)=[0;4)$
$n=2 --> [1-1/2; 3+1/2)=[1/2; 3+1/2)$
se facciamo l'intersezione otteniamo $[1/2; 3+1/2)$
se andiamo avanti con $n$ otterremo come estremo inferiore un numero di poco più piccolo di 1, infatti gli stiamo togliendo delle frazioni che diventano sempre più piccole, al limite 0, quindi 1 è incluso, e come estremo superiore un numero superiore a 3 di una frazione che diventa sempre più piccola, al limite 0, quindi il $3$ è senz'altro incluso. Insomma il 3 lo stiamo raggiungendo da destra.
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