Unione di n eventi indipendenti

[athepilot]

Ciao a tutti,
dalla teoria so che $ P(A uu B) = P(A) + P(B) - P(A nn B) $ ma se io volessi calcolare l'unione di n eventi?

Il motivo per cui lo chiedo è che ho questo esercizio:

Un lampadario monta 5 lampadine. La durata di ogni lampadina è distribuita come un esponenziale di media 200 ore. Se una lampadina si brucia, viene sostituita. Sia T il tempo prima della prima sostituzione e siano Xi, i=1,...,5 le durate delle 5 lampadine. Assumiamo che le durate delle lampadine siano indipendenti.
- Trovare $ P(T leq 100) $

Io ho pensato che $ P(T leq 100) = P(X1 leq 100 uu ... uu X5 leq 100) $ ma qui mi sono bloccato perchè non so calcolare questa unione.

Grazie

[itpareid]

io non userei la formulaccia che ne deriva, ma proverei a risolvere il problema diversamente (tipo Poisson e legge degli eventi rari)

[cenzo1]

"athepilot":- Trovare $ P(T leq 100) $
Io ho pensato che $ P(T leq 100) = P(X1 leq 100 uu ... uu X5 leq 100) $ ma qui mi sono bloccato perchè non so calcolare questa unione

Puoi calcolare $P(T<=100)$ come la probabilità che il minimo tempo di sostituzione delle 5 lampadine sia minore o uguale a 100 ore:

$P(T<=100)=P(min{X_1,...,X_5}<=100)$

Poi sfrutta il fatto che il minimo di $n$ variabili esponenziali indipendenti è distribuito come una esponenziale con parametro pari alla somma dei parametri delle $n$ variabili di partenza.

[DajeForte]

"athepilot":Io ho pensato che $ P(T leq 100) = P(X1 leq 100 uu ... uu X5 leq 100) $ ma qui mi sono bloccato perchè non so calcolare questa unione.

Tieni in mente questo http://en.wikipedia.org/wiki/De_Morgan's_laws

[Andrea2976]

Penso che il problema di chi ha postato sia più di base che strettamente legato al calcolo.

Consiglio athepilot di provare a ragionare con solo 2 lampadine, inizialmente.