Una variabile aleatoria misurabile rispetto ad un'altra

[dissonance]

Leggo sulle dispense An introduction to stochastic differential equations di L. Evans (clic), pagina 11 ("Important remark"), che se [tex]X, Y[/tex] sono variabili aleatorie reali e [tex]Y[/tex] è misurabile rispetto alla sigma-algebra

[tex]\mathcal{U}(X):=\{X^{-1}(B) \mid B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\},[/tex] (sigma algebra generata da [tex]X[/tex])

allora [tex]Y=\Phi(X)[/tex] per una funzione misurabile [tex]\Phi[/tex].

Come si dimostra? Forse è ovvio e io non lo vedo? Non capisco...

[DajeForte]

Ti faccio un semplice esempio; la generalizzazione dovrebbe venire da se.

Consideriamo $(Omega, mathcal(F),P)$ s. di p.. Consideriamo due variabili aleatorie $X$ e $Y$.

Considera $X$ assumere 3 valori distinti $x_1,\ x_2,\ x_3$ in corrispondenza dei tre insiemi $A_1,\ A_2,\ A_3$; questi creano una partizione di $Omega$.

$sigma(X)={emptyset,\ Omega,\ A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_1uuA_2,\ A_1uuA_3,\ A_2uuA_3}$

Considera ora $Y$ assumere due valori distinti $y_1,\ y_2$ in corrispondenza di $A_1,\ A_2 uu A_3$.


$sigma(Y)={emptyset,\ Omega,\ A_1,\ A_2uuA_3}$. Chiaramente $Y$ è $X$-misurabile.

A questo punto la mappa è quella che assegna $y_1$ a $x_1$ e $y_2$ a $x_2$ e $x_3$.

Ve di invece che se $Y$ assume valore $y_1$ in un generico insieme $A$ in maniera tale che non ci sia la misurabilità non puoi costruire la funzione.
Ti conviene farti un disegno con omega lo dividi nei tre insiemi e poi ci pianti un generico insieme $A$ e vedi che non riesci a costruire la funzione.

[dissonance]

Eh sì, certo. In generale, supponiamo che $X$ sia una v.a. reale e $Y=\chi_{X^{-1}(B)}$ per un Boreliano $B$. Allora $Y=\chi_B(X)$. Subito segue che se $Y$ è una v.a. semplice $\sigma(X)$-misurabile allora esiste una funzione semplice $s$ su $RR$ tale che $Y=s(X)$. Siccome ogni v.a. è limite di una successione di v.a. semplici, passando al limite abbiamo la tesi. Mi pare che funzioni! Grazie mille.