Una sorgente ternaria con tre diverse probabilità

[stefanomusilli96]

Una sorgente ternaria può emettere uno tra i tre simboli {1,2,3} con probabilità p1, p2, p3. Le emissioni sono indipendenti e si considera un blocco di 20 simboli emessi. Calcolare, in funzione dei parametri dati:

1) La probabilità che la stringa emessa contenga al più un 2.
2) La probabilità che la stringa emessa contenga almeno un 2.
3) Determinare il valore minimo di p2 affinché la probabilità calcolata nel punto 2 valga $1/2$.

[stefanomusilli96]

Si può usare la binomiale? Quindi essendo indipendenti non ha importanza che ogni numero abbia una probabilità diversa? Non dovrei usare la Poisson binomiale (che non so usare)?

[Lo_zio_Tom]

"stefanomusilli96":...Quindi essendo indipendenti non ha importanza che ogni numero abbia una probabilità diversa?

Da questa affermazione sembra che tu abbia parecchia confusione su come trattare questo tipo di problemi. Vediamo quindi di fare un po' di chiarezza.

Il problema si può risolvere con entrambe le distribuzioni, Poisson o Binomiale.
Con la binomiale è più corretto ma nel caso in esame si può utilizzare anche la Poisson, dato che quest'ultima è proprio la distribuzione limite della binomiale.

la tua legge di probabilità è questa

$X_i-={{: ( 1 , 2 , 3 ),(p_1 , p_2 , p_3 ) :}$

dove, tra l'altro, come sottolinea la traccia, ${1,2,3}$ non sono numeri naturali, ma unicamente simboli, etichette.

Ora, se leggi bene tutti i quesiti, ti si richiede solo di calcolare la probabilità che il simbolo "2" esca un determinato numero di volte su 20 ripetizioni indipendenti. Allora, utilizzando i parametri dati e ricordando che $p_1+p_3=1-p_2$, puoi definire una nuova variabile $Y$ così fatta:

$Y_i-={{: ( 1 , 0 ),( p_2 , (1-p_2) ) :}$

tale variabile (bernulliana di parametro $p_2$) ti dà tutte le informazioni necessarie per rispondere ai quesiti del problema. A questo punto, in virtù dell'indipendenza, sai anche che $W=sum_(i=1)^(20)Y_i$ è una binomiale $B(20;p_2)$ e quindi il problema è risolto perché

1) la probabilità che il simbolo "2" si presenti al massimo una volta è $P(W=0)+P(W=1)=(1-p_2)^20+20p_2(1-p_2)^19$

2) la probabilità che il simbolo "2" si presenti almeno una volta è $1-P(W=0)=1-(1-p_2)^20$

3) sostituisci il valore $0.5$ nel punto precedente e risolvi rispetto a $p_2$


Volendo risolverlo con l'utilizzo di una Poisson, i risultati sarebbero i seguenti:

1) $e^(-20*p_2)(1+20*p_2)$

2) $1-e^(-20*p_2)$

3) anche qui, sostituisci il valore $0.5$ nel punto precedente e risolvi rispetto a $p_2$

Come puoi vedere dalla tabella sottostante, i risultati, soprattutto nel quesito 2, tabulati per vari valori di $p_2$, sono praticamente identici

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