Una gaussiana nella exp

[marcoderamo93]

Salve
come dal titolo l'esercizio è il seguente

Sia $X=N(0,1)$ e $Y=exp(X)$

a)calcolare $E(Y)$ e $VAR(Y)$
b)calcolare APPROSSIMATIVAMENTE $P(Y_40<=1)$ dove $Y_40=(Y_1+Y_2+....Y_40)/40$


Prima precisazione so che la nomenclatura è sbagliatala $P(Y_40<=1)$ è una media ma non riesco a trovare la formula che mi inserisca la linea sopra la variabile in modo da definirla media empirica. Spero di essermi spiegato.

Per il punto a) inizialmente pensavo di appiccare la famosa LOTUS di qualche settimana fa ma l'esercizio mi sembra diverso qui è proprio una distribuzione "dentro" un altra distribuzione e qui non riesco a partire. Questo primo punto ovviamente mi blocca anche il secondo

nel secondo so che devo utilizzare TLC in quanto mi chiede espressamente di fare una stima di quella probabilità richiesta . Grazie a chi gentilmente mi aiuti a capire

[Lo_zio_Tom]

sì bisogna utilizzare il LOTUS.

L'esercizio è molto semplice ma è un testo scritto malamente. Non è vero che $Y$ si distribuisce come hai detto tu (o come ti hanno scritto). Ciò che è vero, è che la distribuzione condizionata

$(Y|X=x)~ \text{Exp}(x)$

ovvero

$f_{Y|X)(y|x)=x e^(-xy)$

dove $x in RR$ e $y >=0$

parti da qui e dovresti trovarti bene (se non riesci avvisami...ma è davvero molto semplice)

Inoltre non si può scrivere $X=N(0;1)$. Questa è una cosa che fa davvero senso in Statistica. Se ti è stato detto così...cambia professore. $X$ è una variabilie casuale CHE SI DISTRIBUISCE IN UN CERTO MODO...NON UGUALE AD UNA NORMALE

Si può scrivere $X\stackrel{d}{=}N(0;1)$ oppure $X~ N(0;1)$ ma non certo $=$. I simboli sono importanti in matematica perché è una scienza che si basa proprio sul linguaggio simbolico

una volta calcolate media e varianza di Y (la marginale) puoi usarle per calcolare il punto 2 con il TLC

EDIT: prima di fare i calcoli è opportuno sapere cosa si intende per $\text{Exp}[theta]$. Infatti non è chiaro se il parametro (nel tuo caso $x$) sia il parametro di scala o il suo reciproco. infatti se

$f_(Y|X)(y|x)=1/x e^(-y/x)$

i calcoli sono banali in quanto

$\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y|X]]=\mathbb{E}[X]=0$

$\mathbb{E}[Y^2]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y^2|X]]=\mathbb{E}[2X^2]=2$

e quindi immediatamente

$P(\overline{Y}_(40)<1)=Phi(sqrt(20))~~1$

Se invece $x$ è il rate, allora le cose si complicano un pochino... ...un pochino troppo dato che gli integrali risultanti mi pare vadano espressi con funzioni speciali del tipo Gamma incomplete ecc ecc

Osservazione importante: ogni volta che si parla di densità Gamma e geometriche è obbligatorio fornire tutte le informazioni necessarie per il corretto svolgimento dell'esercizio...es $Y|X$ è un'esponenziale di media $x$. Questo è chiaro!

[Lo_zio_Tom]

ATTENZIONE:

altra interpretazione. non è che per caso

$Y=\text(exp)(X)$ significa semplicemente

$Y=e^X$

??

che è una funzione deterministica, non casuale, e quindi il simbolo $=$ è corretto. In questo caso tutto ciò che ho scritto va buttato via...

Anche qui, come vedi, è sempre una questione di simboli perché scrivendo $X=N(0;1)$ e poi $Y=Exp(X)$ uno è portato a pensare che, come hai usato male il simbolo $=$ nel primo caso, così l0 hai fatto nel secondo.

insomma, chiarire bene simboli prima di porre quesiti è fondamentale per far capire di cosa parliamo agli interlocutori.

Se il caso è questo, allora il problema si sposta alle trasfomazioni di variabili. Anche senza fare conti la $Y$ è una densità nota, una lognormale di media e varianze altresì note ( e che comunque possono facilmente essere calcolate via integrazione, con qualche piccolo accrocchio )

fammi sapere

[marcoderamo93]

Ciao tommik penso sia $Y=exp(X)$ DISTRIBUZIONE.

In effetti con tutte queste considerazioni la traccia rimane veramente molto vaga. Non riesco nemmeno a capire se è reciproco o scala perchè non viene nominato mai. Penso che se sia il reciproco la difficoltà dell'esercizio sta nel calcolare $E(1/X)$ quindi il valore atteso di un inversa gaussiana. Per quanto riguarda la simbologia ovviamente l'errore è mio.Ci starò piu attento

[Lo_zio_Tom]

Devi calcolare $E(1/X)$ dove $X$ è gaussiana...via funzioni speciali...e fin qui ok, per simmetria ma per calcolare $E(1/X^2)$ mi sa che nemmeno si riesce.

Io penso che sia la seconda interpretazione, quella in cui $Y=e^X$. Infatti con questa interpretazione la traccia risulta scritta correttamente, con l'unica eccezione di $X=N(0;1)$.

Fallo così che viene un esercizio interessante...non usare la media e varianza note della lognormale ma cerca di calcolarle analiticamente...tanto hai già anche il risultato nel link che ti ho postato.

[marcoderamo93]

Eccomi qui.

$int_(-oo)^(oo)e^x 1/(sqrt(2\pi)) e ^(-x^2/2)dx=int_(-oo)^(oo)1/(sqrt(2pi))e^(-(x^2-2x)/2)dx$

quindi
$int_(-oo)^(oo)1/(sqrt(2pi))e^(-(x^2-2x+1-1)/2)dx=e^(1/2)\underbrace{int_(-oo)^(oo)1/(sqrt(2pi))e^(-(x-1)^2/2)dx}_{=1}=e^(1/2)$


ora altro non è che $M_x(1)=e^(1/2)$ di una gaussiana.

Però qui vorrei un chiarimento. Mi sembrava di aver capito che tramite le fgm io potessi calcolare tutti i momenti delle distribuzioni probabilistiche. Per esempio per calcolare la media,quindi momento primo,dovevo fare derivata della $M_x(t)$ generica dopo di che calcolarla in zero. Ora qui ho questo risultato senza fare nessuna derivata.


Per la varianza il LOTUS non può aiutarmi vero? Dovrei utilizzare la fgm ma con quel dubbio che ti dicevo mi fermo qui.


Comunque la varianza di una lognormale(da wikipedia) in questo caso mi sembra che esca 0.


Quindi il TLC è possibile lo stesso utilizzarlo?


Scusami per queste infinite domande

[Lo_zio_Tom]

"Sasuke93":. Ora qui ho questo risultato senza fare nessuna derivata.

Perché qui stai calcolando i momenti di $Y$ non di $X$

Questo è un caso particolare. Infatti ti stanno chiedendo di calcolare

$\mathbb{E}[e^X]$

dove $X$ è una gaussiana standard, quindi con fgm $M_X(t)=e^(t^2/2)=\mathbb{E}[e^{Xt}]$

Ora mi sembra chiaro che ciò che devi calcolare, cioè

$\mathbb{E}[e^X]=[\mathbb{E}(e^{Xt})]_(t=1)=\sqrt(e)$

Ora con lo stesso procedimento calcoli la varianza di Y (che ovviamente non è zero) e poi usi il TLC, come sempre

Se guardi qui trovi la stessa spiegazione

Quindi dovendo calcolare il momento secondo di Y ottieni

$\mathbb{E}[e^(2X)]=[\mathbb{E}(e^{Xt})]_(t=2)=e^2$

Oppure usando il L.O.T.U.S.

$\mathbb{E}[e^(2X)]=\int_(RR) 1/\sqrt(2pi)e^(2x)e^(-x^2/2)dx=e^2\int_(RR)1/\sqrt(2pi)e^(-1/2(x-2)^2)dx=e^2$

da cui

$\mathbb{V}(Y)=e(e-1)$

[marcoderamo93]

quindi dalla formula generale del LOTUS

$E(g(X))=\int_{-infty}^{infty} g(x)f_X(x) dx$

il momento secondo è
$E(g^2(X))=\int_{-infty}^{infty} g^2(x)f_X(x) dx$ giusto?


Per completezza chiudo l'esercizio

dal TLC

chiamo la media empirica con $Z$( non riesco ancora a mettere l'apice sopra )
indico

$E(Z)=1/40*40*E(Y_1)=e^(1/2)$
$V(Z)=1/(40^2)40V(Y_1)=(e(e-1))/40$


$P(Z<=1)=1-P(Z>1)=1-P((Z-E(Z))/sqrt(V(Z)))>=1-(1-(e(^1/2)))/sqrt(e(e-1)))=1-phi(-0.71)=1-1+phi(0.71)$

[Lo_zio_Tom]

rinuncio a cercare di capire che ragionamento hai fatto... ecco la soluzione corretta

$\mathbb{P}[\bar(Z)<1)=\Phi((1-\sqrt(e))/sqrt(e(e-1))\sqrt(40))=\Phi(-1.898)~~2.88%$