Un processo stocastico come una misura di probabilità

[dissonance]

Ho letto sul libro di Øksendal Stochastic Differential Equations una interpretazione alternativa per un processo stocastico [tex]X\colon T \times \Omega \to \mathbb{R}^n[/tex], dove [tex](\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})[/tex] è uno spazio di probabilità e [tex]T[/tex] è un insieme:

Finally we note that we may identify each [tex]\omega[/tex] with the function [tex]t \mapsto X_t(\omega)[/tex] from [tex]T[/tex] into [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Thus we may regard [tex]\Omega[/tex] as a subset of the space [tex]\tilde{\Omega}=(\mathbb{R}^n)^T[/tex] of all functions from [tex]T[/tex] into [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Then the [tex]\sigma[/tex]-algebra [tex]\mathcal{F}[/tex] will contain the [tex]\sigma[/tex]-algebra [tex]\mathcal{B}[/tex] generated by sets of the form

[tex]$\{\omega \mid \omega(t_1)\in F_1 \ldots \omega(t_k) \in F_k\},\quad F_k \subset \mathbb{R}^n\ \text{Borel sets}[/tex]

([tex]\mathcal{B}[/tex] is the same as the Borel [tex]\sigma[/tex]-algebra on [tex]\tilde{\Omega}[/tex] if [tex]T=[0, \infty)[/tex] and [tex]\tilde{\Omega}[/tex] is given the product topology). Therefore one may also adopt the point of view that a stochastic process is a probability measure [tex]\mathbf{P}[/tex] on the measurable space [tex]\big( (\mathbb{R}^n)^T, \mathcal{B}\big)[/tex].

Bellissimo. Ma non ho mica capito! Il testo a questo punto non spende altre parole su questa interpretazione e prosegue nello sviluppo della teoria. Soprattutto non mi è chiaro quale sarebbe questa misura di probabilità. Intuitivamente arrivo a capire che qui si sta costruendo l'analogo per processi stocastici del concetto di distribuzione di una variabile aleatoria, ma non capisco bene i dettagli. Una mano?

[Ciobix]

Dal tuo post non si capisce se tu abbia o meno nozioni di teoria della misura. Se no, per capire questa interpretazione di processo stocastico dovresti conoscere alcuni concetti basilari come algebra, sigma-algebra, spazio misurabile, misura, spazio di misura (su wikipedia puopi farti un quadro generale). Uno spazio di probabilità è un caso particolare di spazio di misura.

Premettendo che sono alle prime armi, uno spazio di probabilità (detto anche terna di probabilità), così come hai detto tu, dovrebbe corrispondere ad una variabile casuale. Infatti abbiamo uno spazio campionario Omega, una famiglia F di sottoinsiemi misurabili di Omega (caratterizzata da particolari proprietà, ovvero le proprietà delle sigma-algebre) e una misura di probabilità P che è definita come una funzione che assegna ad ogni sottoinsieme di F un numero reale compreso fra 0 e 1 (in pratica P è la distribuzione di probabilità).
Quindi se sostituisci Omega (insieme di eventi) con T x Omega, avrai un processo stocastico e non più una variabile casuale.

P.S. Spero di non aver scritto troppe cazzate

[dissonance]

Ciao Clobix, grazie per la risposta. Si, ho le basi della teoria di misura, mi sono laureato da poco in Matematica e ho seguito alcuni corsi di Analisi e di Probabilità su questi argomenti. Il discorso che fai mi è noto, così come ho chiara l'idea dietro la costruzione di Øksendal: lui considera lo spazio delle traiettorie del processo [tex]X[/tex] (laddove, avendo una singola v.a. [tex]Y[/tex], la tua costruzione considera il più semplice spazio dei valori assunti da [tex]Y[/tex], comunemente la retta reale [tex]\mathbb{R}[/tex]) e lo munisce di una struttura di spazio di probabilità. In questo modo il processo stocastico si riguarda come una misura di probabilità sullo spazio delle traiettorie. Quello che non è molto ben detto (IMHO) sul libro di Øksendal sono i dettagli tecnici della cosa: ad esempio, lui parla di topologia prodotto e di sigma-algebra di Borel su [tex]\tilde{\Omega}[/tex] ma un paio di righe di dimostrazione poteva anche lasciarle.